[論文レビュー] The trinomial transform triangle

László Németh|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2018

Advanced Numerical Analysis Techniques被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、各項がその上にある3つの項の和であるピタゴラス型構造である三項変換三角形を導入する。これは三項係数を用いて二項変換を一般化し、主対角線が列の列の三項変換を生成することを証明する。主な結果として、三項変換は三重線形再帰を保存し、列和および交代和は明示的な再帰関係に従い、フィボナッチ数列、トリボナッチ数列、定数列などの数列に対して閉形式の式が導出される。

ABSTRACT

The trinomial transform of a sequence is a generalization of the well-known binomial transform, replacing binomial coefficients with trinomial coefficients. We examine Pascal-like triangles under trinomial transform, focusing on the ternary linear recurrent sequences. We determine the sums and alternating sums of the elements in columns, and we give some examples of the trinomial transform triangle.

研究の動機と目的

• 三項変換三角形を二項変換三角形の一般化として定義・形式化すること。
• 三重線形再帰的数列が三項変換のもとでどのように振る舞うかを調査すること。
• 三項変換三角形における列和および交代和の閉形式表現を導出すること。
• 三重線形再帰的数列の三項変換が、自身も三重線形再帰的数列であることを示すこと。
• フィボナッチ数列、トリボナッチ数列、定数列、自然数列などの特殊な場合について、列和の明示的例および再帰関係を提供すること。

提案手法

• 再帰的行構成により三項変換三角形 T を定義する：$ a_k^n = a_{k-1}^{n-1} + a_k^{n-1} + a_{k+1}^{n-1} $（$ n \geq 1 $）、初期行 $ a_k^0 = a_k $。
• 三項係数 $ \binom{n}{i}_2 $ を用い、これは $ (1+x+x^2)^n $ における $ x^i $ の係数として定義され、$ a_k^n = \sum_{i=k-n}^{k+n} \binom{n}{i-k+n}_2 a_i^0 $ として各項を表現する。
• 部分和三項係数三角形 $ \left[ \binom{n}{k}_2 \right]_2 $ を導入し、各行の列ごとの三項係数の累積和として定義する。
• 部分和三項係数三角形の対称性および再帰的恒等式を活用して、和の公式を導出する。
• 母関数技法および再帰的解析を用いて、列和および交代和の恒等式を導出する。
• 特殊数列（フィボナッチ数列、トリボナッチ数列、定数1、自然数列）に対して明示的計算により結果を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 三項変換三角形はどのように二項変換三角形を一般化するか？
• RQ2 三項変換三角形の主対角線と初期数列の三項変換との関係は何か？
• RQ3 三項変換は三重線形再帰の性質を保存するか？
• RQ4 三項変換三角形の各列の要素の和および交代和に対して、閉形式の表現を導出できるか？
• RQ5 フィボナッチ数列、トリボナッチ数列、定数列などの特定の初期数列に対して、列和を支配する再帰関係は何か？

主な発見

• 三項変換三角形の主対角線は初期数列 $ (a_k) $ の三項変換に正確に一致し、$ a_k^k = \sum_{i=0}^k \binom{k}{i}_2 a_i $ で与えられる。
• 三重線形再帰的数列の三項変換は、自身も三重線形再帰的数列である。例えば、フィボナッチ変換は $ n \geq 4 $ に対して $ s_n = 7s_{n-1} - 9s_{n-2} - 2s_{n-3} + 4s_{n-4} $ を満たす。
• 定数列 $ a_k^0 = 1 $ の場合、列和 $ s_n = \sum_{i=0}^n \left[ \binom{n}{i}_2 \right]_2 = \frac{3^{n+1} - 1}{2} $ であり、OEIS A003462 と一致する。
• 自然数列 $ a_k^0 = k $ の場合、列和は $ s_n = \sum_{i=0}^n i \cdot \left[ \binom{n}{i}_2 \right]_2 = \frac{n \cdot (3^{n+1} - 1)}{2} $ であり、OEIS A036290 と一致する。
• 定数列 $ a_k^0 = 1 $ の交代列和は $ \bar{s}_n = \sum_{i=0}^n (-1)^i \cdot \left[ \binom{n}{i}_2 \right]_2 = \frac{3(-3)^n + 1}{4} $ であり、OEIS A014983 と一致する。
• トリボナッチ数列の場合、列和 $ s_n = \sum_{i=0}^n t_{n+2i} $ は6階線形再帰を満たす：$ n \geq 6 $ に対して $ s_n = 8s_{n-1} - 11s_{n-2} - 3s_{n-4} + 4s_{n-5} - s_{n-6} $。