[論文レビュー] The two classes of hybrid classical-quantum dynamics

Jonathan Oppenheim, Carlo Sparaciari+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2022

Quantum Mechanics and Applications被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、Pawulaの定理の量子-古典的拡張を証明することにより、マーカフ的で連続的な古典的-量子（CQ）マスター方程式の最も一般的な形を同定する。CQ系における一般化されたコーシー＝シュワルツ不等式を用いて、完全正則性とノルム保存が、CQ力学を無限大のモーメント展開（ジャンプを意味する）または特定の有限形—式（1）—に一意に制限することを示す。この式は、拡散、バックリアクション、およびリンブレート型デコherenceを伴う連続的位相空間力学を記述する。

ABSTRACT

Coupling between quantum and classical systems is consistent, provided the evolution is linear in the state space, preserves the split of systems into quantum and classical degrees of freedom, and preserves probabilities. The evolution law must be a completely positive and norm preserving map. We prove that if the dynamics is memoryless, there are two classes of these dynamics, one which features finite sized jumps in the classical phase space and one which is continuous. We find the most general form of each class of classical-quantum master equation. This is achieved by applying the complete positivity conditions using a generalized Cauchy-Schwartz inequality applicable to classical-quantum systems. The key technical result is a generalisation of the Pawula theorem.

研究の動機と目的

• 完全正則性と確率保存を保つ連続的古典的-量子（CQ）力学の最も一般的な形を同定すること。
• 既知の例（例えばDiosiモデル）を超えた連続的CQマスター方程式の特徴付けという未解決問題を解消すること。
• CQ力学におけるモーメント展開を無限項か特定の有限形に制限する古典的-量子的Pawula定理の類似を確立すること。
• ハイブリッド系における完全正則性のための遷移振幅のモーメントに関する必要十分条件を導出すること。
• 連続的位相空間軌道を持つCQ力学と有限サイズのジャンプを伴うものとの違いを、マスター方程式の構造に基づいて明確にすること。

提案手法

• 古典的-量子系に適用可能な一般化されたコーシー＝シュワルツ不等式を用いて、最も一般的なCQマスター方程式を導出すること。
• CQ位相空間における遷移振幅のKramers-Moyal展開に完全正則性の制約を適用すること。
• モーメントのブロック行列に対するシュール補行列条件を用いて、係数の正則性制約を導出すること。
• 行列不等式 $\begin{bmatrix}2D_2 & D_1 \\ D_1^* & D_0\end{bmatrix} \succeq 0$ を用いて力学を特徴づけることにより、完全正則性を保証すること。
• 導出された形でない任意のCQ力学は、位相空間における有限サイズのジャンプを必然的に引き起こし、連続性を破ることを示すこと。
• 連続的マスター方程式を、概ね確実に連続的な古典的軌道を伴う確率微分方程式に分解すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全正則性と確率を保つマーカフ的で連続的な古典的-量子マスター方程式の最も一般的な形は何か？
• RQ2 古典的-量子モーメント展開が無限項を必要とせず、有限で物理的に整合性のある形をとる条件は何か？
• RQ3 一般化されたコーシー＝シュワルツ不等式を用いて、古典的-量子版Pawula定理をどのように定式化し、証明できるか？
• RQ4 マスター方程式の構造から、位相空間軌道が連続的なCQ力学と有限サイズのジャンプを伴うものとの違いは何か？
• RQ5 マスター方程式におけるリンブレート演算子は任意に取れるのか、それとも完全正則性のための制約があるのか？

主な発見

• 最も一般的な連続的CQマスター方程式は、式（1）で与えられ、ドリフト、拡散、古典的-量子的バックリアクション、およびリンブレート型デコherenceを含む。
• 完全正則性とノルム保存を保証する条件として、$2D_2^{00} \succeq D_1 D_0^{-1} D_1^\dagger$ および $(\mathbb{I} - D_0 D_0^{-1})D_1 = 0$ が成立する。
• 上記の形でない任意のCQ力学は、古典的位相空間における有限サイズのジャンプを必然的に引き起こし、連続性を破る。
• 古典的-量子的Pawula定理は、CQ Kramers-Moyal展開が無限項を含むか、式（1）の形に簡約されるかのいずれかであると述べる。
• マスター方程式におけるリンブレート演算子は、トレースゼロである必要も直交する必要もないが、モーメントの正則性条件が満たされていれば任意に取れる。
• マスター方程式は、概ね確実に連続的な古典的軌道を伴う確率微分方程式に分解可能であり、これにより連続性が裏付けられる。