[論文レビュー] The uncertainty relation for joint measurement of postion and momentum

Reinhard F. Werner|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2004

Quantum Mechanics and Applications参考文献 14被引用数 72

ひとこと要約

本稿は、位置と運動量の同時測定における基本的な不確定性関係を確立し、測定不確定性の積 (ΔP)(ΔQ) が定数 Ch で下限づけられることを証明している。ここで C は最適定数である。この関係は、位置測定の精度と運動量への撹乱の間のトレードオフを定量化し、唯一、位相空間共変測定方式によってこの下限が達成される。

ABSTRACT

We prove an uncertainty relation, which imposes a bound on any joint measurement of position and momentum. It is of the form (ΔP)(ΔQ) ≥ Ch, where the 'uncertainties' quantify the difference between the marginals of the joint measurement and the corresponding ideal observable. Applied to an approximate position measurement followed by a momentum measurement, the uncertainties become the precision ΔQ of the position measurement, and the perturbation ΔP of the conjugate variable introduced by such a measurement. We also determine the best constant C, which is attained for a unique phase space covariant measurement.

研究の動機と目的

• 位置と運動量の同時測定における不確定性の積の厳密な下界を確立すること。
• 近似的な位置測定の精度とそれに伴う運動量への撹乱を定量化すること。
• 不確定性関係における最適定数 C を特定すること。これは、同時測定精度の根本的限界を特徴付ける。
• この最適下限に到達する一意の測定戦略（位相空間共変）を同定すること。

提案手法

• 著者らは、マージナル分布が理想観測量からどれほど離れているかとして不確定性を定義し、トレース距離や類似の忠実度測度に基づく距離を用いる。
• 彼らは位相空間における量子力学の定式化を用いて、位置と運動量における共変同時測定を分析する。
• 導出には対称性の原則と双対性を用い、すべての可能な同時測定に対する最小化問題に帰着する。
• 最適定数 C は、位相空間の移動に対して不変な正の作用素値測度（POVM）の変分問題を解くことで得られる。
• 解析により、この下限は、Weyl-Heisenberg 対称性を満たす唯一の位相空間共変 POVM によってのみ達成されることが示される。
• 不確定性関係は (ΔP)(ΔQ) ≥ Ch として表現され、ここで h はプランク定数、C は位相空間の幾何学的性質から導かれる普遍定数である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の位置と運動量の同時測定において、不確定性の積の根本的下限は何か？
• RQ2 位置測定の精度は、運動量に及ぼす撹乱とどのように関係するか？
• RQ3 不確定性関係 (ΔP)(ΔQ) ≥ Ch における最適定数 C は何か？ そして、それは達成可能か？
• RQ4 どの測定戦略が、位置-運動量同時測定における最もタイトな下限を達成するか？
• RQ5 不確定性下限を飽和させる一意の測定方式は存在するか？

主な発見

• 不確定性関係 (ΔP)(ΔQ) ≥ Ch は、位置と運動量の任意の同時測定において成り立ち、C は最適定数である。
• 定数 C は明示的に決定されており、すべての可能な同時測定において不等式を満たす最小の値である。
• この下限は、唯一、位置と運動量の両方の移動に対して不変な位相空間共変測定によって達成される。
• 位置測定の精度 ΔQ と運動量への撹乱 ΔP は、積 (ΔP)(ΔQ) ≥ Ch によって根本的に制約を受ける。
• 最適測定戦略は、Weyl-Heisenberg 群に関して共変である POVM によって特徴づけられ、最大対称性と最小不確定性を保証する。
• この結果は、標準的なケナード＝ロバートソン不確定性関係を、同時測定の文脈に一般化し、よりタイトな操作的下限を提供する。