[論文レビュー] The universal factorial Hall-Littlewood $P$- and $Q$-functions

Masaki Nakagawa, Hiroshi Naruse|arXiv (Cornell University)|May 13, 2017

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ひとこと要約

本稿では、普遍的フォーマル群法を用いて、普遍的階乗Hall–Littlewood $P$-および $Q$-関数を導入し、通常のHall–Littlewood多項式を複素コボルディズム理論へ一般化する。これらの関数の消滅性を確立し、Pieri型の公式と一般化されたフック長の公式を導出し、フラッグバンドルにおけるGysin写像を用いた幾何的特徴づけを示し、生成関数および $K$-理論的 $Q$-多項式のPfaffian公式を導く。

ABSTRACT

In this paper, we introduce {\it factorial} analogues of the ordinary Hall--Littlewood $P$- and $Q$-polynomials, which we call the {\it factorial Hall--Littlewood $P$- and $Q$-polynomials}. Using the {\it universal} formal group law, we further generalize these polynomials to the {\it universal factorial Hall--Littlewood $P$- and $Q$-functions}. We show that these functions satisfy the {\it vanishing property} which the ordinary factorial Schur $S$-, $P$-, and $Q$-polynomials have. By the vanishing property, we derive the Pieri-type formula and a certain generalization of the classical hook formula. We then characterize our functions in terms of Gysin maps from flag bundles in the complex cobordism theory. Using this characterization and Gysin formulas for flag bundles, we can obtain generating functions for the universal factorial Hall--Littlewood $P$- and $Q$-functions. Using our generating functions, we can show that our factorial Hall--Littlewood $P$- and $Q$-polynomials have a certain {\it cancellation property}. Further applications such as Pfaffian formulas for $K$-theoretic factorial $Q$-polynomials are also given.

研究の動機と目的

• 普遍的フォーマル群法を用いて、通常のHall–Littlewood $P$-および $Q$-多項式を階乗的かつ普遍的な形に一般化すること。
• 複素コボルディズム理論におけるフラッグバンドル内のGysin写像を用いて、これらの関数の幾何的特徴づけを確立すること。
• トポロジカルなGysin公式を用いて、普遍的階乗Hall–Littlewood関数の生成関数を導出すること。
• 生成関数を用いて、階乗的Hall–Littlewood多項式におけるキャンセル性を証明すること。
• 予想された生成関数に基づき、$K$-理論的階乗$Q$-多項式のPfaffian公式を提供すること。

提案手法

• 普遍的フォーマル群法 $+_{bL}$ を用いて、対称群の陪集合の和を用いて、普遍的階乗Hall–Littlewood $P$-および $Q$-関数 $HP^{bL}_{m{ u}}(m{x}_n;t|m{b})$ および $HQ^{bL}_{m{ u}}(m{x}_n;t|m{b})$ を定義する。
• これらの関数の消滅性を用いて、Pieri型の公式と一般化されたフック長の公式を導出する。
• 複素コボルディズム理論におけるフラッグバンドルからのGysin写像を用いて、関数を幾何的に特徴づける。
• Gysin公式とフォーマル群法の恒等式を用いて、普遍的関数の生成関数を構成する。
• 生成関数を用いて、階乗的Hall–Littlewood多項式におけるキャンセル性を証明する。
• 双対 $K$-理論的 $Q$-多項式 $gq_{ u}(m{y}_n)$ の生成関数を予想し、その予想に基づきPfaffian公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、普遍的フォーマル群法を用いて、通常のHall–Littlewood $P$-および $Q$-多項式を普遍的階乗的形に一般化できるか？
• RQ2 これらの普遍的関数は、複素コボルディズム理論においてどのような幾何的または位相的解釈を有するか？
• RQ3 Gysin公式を用いて、普遍的階乗Hall–Littlewood $P$-および $Q$-関数の生成関数を導出できるか？
• RQ4 階乗的Hall–Littlewood多項式はどのようなキャンセル性を満たし、それはどのように証明されるか？
• RQ5 $K$-理論的階乗$Q$-多項式に対してPfaffian公式が存在するか。また、その公式は予想された生成関数から導出可能か？

主な発見

• 普遍的階乗Hall–Littlewood $P$-および $Q$-関数は、階乗的シュール関数と同様の消滅性を満たす。
• 消滅性を根拠として、普遍的関数に対するPieri型の公式が導出される。
• 消滅性の結果として、一般化されたフック長の公式が得られる。
• 関数は、複素コボルディズム理論におけるフラッグバンドルからのGysin写像を用いて特徴づけられる。
• Gysin公式と普遍的フォーマル群法を用いて、普遍的関数の生成関数が構成される。
• 予想された $gq_{ u}(m{y}_n)$ が $gq(m{z}_r)$ の $m{z}^{ u}$ の係数であると仮定すると、$K$-理論的階乗$Q$-多項式 $gq_{ u}(m{y}_n)$ のPfaffian公式が導出される。