[論文レビュー] The Variable Coefficient Thin Obstacle Problem: Higher Regularity

Herbert Koch, Angkana Rüland+1 more|arXiv (Cornell University)|May 6, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、部分的ホドグラフ＝レジェンドル変換と陰関数定理を用いて、変係数薄障害問題における自由境界の高次の正則性を確立する。自由境界は、係数の正則性に対して Hölder 正則性で3/2の導関数の正則性の向上を達成し、解析的計量の下では解析的であることが示され、$W^{1,p}$ 框組み（$p>n+1$）を越えて正則性理論を拡張する。解析は一般化 Hölder 空間および Baouendi-Grushin 演算子に結びついた内在的幾何学に依拠する。

ABSTRACT

In this article we continue our investigation of the thin obstacle problem with variable coefficients which was initiated in \cite{KRS14}, \cite{KRSI}. Using a partial Hodograph-Legendre transform and the implicit function theorem, we prove higher order Hölder regularity for the regular free boundary, if the associated coefficients are of the corresponding regularity. For the zero obstacle this yields an improvement of a \emph{full derivative} for the free boundary regularity compared to the regularity of the metric. In the presence of non-zero obstacles or inhomogeneities, we gain \emph{three halves of a derivative} for the free boundary regularity with respect to the regularity of the inhomogeneity. Further we show analyticity of the regular free boundary for analytic metrics. We also discuss the low regularity set-up of $W^{1,p}$ metrics with $p>n+1$ with and without ($L^p$) inhomogeneities. Key new ingredients in our analysis are the introduction of generalized Hölder spaces, which allow to interpret the transformed fully nonlinear, degenerate (sub)elliptic equation as a perturbation of the Baouendi-Grushin operator, various uses of intrinsic geometries associated with appropriate operators, the application of the implicit function theorem to deduce (higher) regularity and the splitting technique from \cite{KRSI}.

研究の動機と目的

• 変係数を有する薄障害問題における正則自由境界の高次 Hölder 正則性を確立すること。
• 係数テンソル場 $a^{ij}$ の正則性に対して自由境界の正則性の向上を定量化すること。
• 非ゼロ障害および非同次項の存在下での正則性結果を拡張し、解析的計量下での自由境界の解析的性を分析すること。
• 低正則性設定（$p>n+1$ における $W^{1,p}$ 係数）を扱い、$L^p$ 非同次項を含む場合を含むこと。
• 一般化 Hölder 空間および Baouendi-Grushin 演算子に関連する内在的幾何学を構築・適用し、退化した亜楕円型方程式を扱うこと。

提案手法

• 完全非線形で退化（亜）楕円型方程式を、Baouendi-Grushin 演算子の摂動として扱えるように、部分的ホドグラフ＝レジェンドル変換を適用する。
• Baouendi-Grushin 演算子の内在的幾何に適合した一般化 Hölder 空間を導入し、変換された解の正則性を制御する。
• 適切な関数空間枠組みにおいて陰関数定理を用いて、係数場の正則性から自由境界の高次正則性を導出する。
• [KRS15b] で提唱された分割技術を活用し、自由境界の正則部と特異部の解析を分離する。
• 一般化 Hölder 空間における Baouendi-Grushin ラプラシアンの核推定および写像性質を確立し、線形化問題の制御を行う。
• 非リーマン的設定における双対性および Sobolev 嵌め込みを適用し、線形化方程式の解について $L^p$ および Hölder 評価を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 変係数薄障害問題において、自由境界は係数の正則性に対してどの程度の正則性の向上を達成するか？
• RQ2 計量テンソルが解析的である場合、自由境界が解析的であることを示せるか？
• RQ3 非ゼロ障害または非同次項が存在する場合、自由境界の正則性は何か？ また、非同次項の正則性と比べてどうなるか？
• RQ4 $W^{1,p}$ 係数（$p>n+1$）の低正則性設定に、解析をどのように拡張できるか？
• RQ5 完全非線形で退化した設定において、陰関数定理を用いて自由境界の正則性を導出できるか？

主な発見

• ゼロ障害の場合、正則自由境界は係数の正則性に対して Hölder 正則性で1つの導関数の正則性の向上を達成する。
• 非ゼロ障害または非同次項が存在する場合、自由境界は非同次項の正則性に対して $\frac{3}{2}$ 個の導関数の正則性の向上を達成する。
• 係数テンソル場 $a^{ij}$ が解析的である場合、正則自由境界は解析的である。
• $W^{1,p}$ 係数（$p>n+1$）の低正則性設定に対しても、適切な仮定の下で自由境界の Hölder 正則性が得られる。
• 一般化 Hölder 空間および Baouendi-Grushin 演算子の内在的幾何学により、変換された方程式が既知の亜楕円型演算子の摂動として扱えることが保証される。
• 一般化 Hölder 空間における Baouendi-Grushin ラプラシアンの核推定が確立され、陰関数定理に必要な $L^p$ および Hölder の写像性質を支える。