[論文レビュー] The Variable Coefficient Thin Obstacle Problem: Optimal Regularity and Regularity of the Regular Free Boundary

Herbert Koch, Angkana Rüland+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 21被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$W^{1,p}$ メトリクス（$p > n+1$）を用いた変数係数薄障害問題における解の最適正則性および正則自由境界の$C^{1,α}$ 正則性を確立する。Reifenberg平坦性の議論と新規の解分割技術を導入することで、正則自由境界点付近での解の先導的漸近展開を導出し、解の最適$C^{1,\min\{1-\frac{n+1}{p},\frac{1}{2}\}}$ 正則性を証明する。

ABSTRACT

This article deals with the variable coefficient thin obstacle problem in $n+1$ dimensions. We address the regular free boundary regularity, the behavior of the solution close to the free boundary and the optimal regularity of the solution in a low regularity set-up. We first discuss the case of zero obstacle and $W^{1,p}$ metrics with $p\in(n+1,\infty]$. In this framework, we prove the $C^{1,α}$ regularity of the regular free boundary and derive the leading order asymptotic expansion of solutions at regular free boundary points. We further show the optimal $C^{1,\min\{1-\frac{n+1}{p}, \frac{1}{2}\}}$ regularity of solutions. New ingredients include the use of the Reifenberg flatness of the regular free boundary, the construction of an (almost) optimal barrier function and the introduction of an appropriate splitting of the solution. Important insights depend on the consideration of various intrinsic geometric structures. Based on variations of the arguments in \cite{KRS14} and the present article, we then also discuss the case of non-zero and interior thin obstacles. We obtain the optimal regularity of the solutions and the regularity of the regular free boundary for $W^{1,p}$ metrics and $W^{2,p}$ obstacles with $p\in (2(n+1),\infty]$.

研究の動機と目的

• 変数係数薄障害問題の低正則性フレームワークにおける解の最適正則性を確立すること。
• $W^{1,p}$ メトリクス仮定（$p > n+1$）の下で正則自由境界の$C^{1,\alpha}$ 正則性を証明すること。
• 正則自由境界点付近での解の先導的漸近展開を導出すること。
• $W^{1,p}$ メトリクスおよび $W^{2,p}$ 障害物（$p > 2(n+1)$）を用いた非ゼロおよび内部の薄障害物へ結果を拡張すること。

提案手法

• 正則自由境界のReifenberg平坦性を活用し、（ほぼ）最適スケーリングのバリア関数を構築すること。
• 発散型右辺を扱い、先導的寄与を分離するために解分割技術を導入すること。
• Carleson推定および境界Harnack推定を用いて、自由境界付近での調和測度と成長を制御すること。
• 修正関数 $v_{x_0}(x) = w(x) - \tilde{b}(x_0)x_{n+1}$ を用いた吹き出し解析により、消える順序と漸近挙動を研究すること。
• 重み関数 $e^{\tau \tilde{\phi}(\ln r)}$ を用いた修正Carleman推定を用いて、アニュラス内での$L^2$ ノルムを制御すること。
• 三角不等式およびメトリクスの$C^{0,\alpha}$ 正則性を用いて、法線微分 $\tilde{b}(x_0) = \partial_{n+1}w(x_0^+)$ の正則性を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $W^{1,p}$ メトリクス（$p > n+1$）を用いた変数係数薄障害問題における解の最適正則性は何か？
• RQ2 同じメトリクス仮定の下で正則自由境界は$C^{1,\alpha}$ 正則か？
• RQ3 正則自由境界点付近での解の先導的漸近挙動は何か？
• RQ4 $W^{2,p}$ 障害物（$p > 2(n+1)$）および $W^{1,p}$ メトリクスを用いた非ゼロおよび内部の薄障害物において、解および自由境界の正則性はどのように拡張されるか？
• RQ5 法線微分 $\partial_{n+1}w$ の漸近展開は定量的に評価可能であり、その正則性は確立可能か？

主な発見

• $W^{1,p}$ メトリクス設定（$p > n+1$）において、解 $w$ は最適正則性 $C^{1,\min\{1-\frac{n+1}{p},\frac{1}{2}\}}$ を達成する。
• 正則自由境界 $\Gamma_w$ は、Reifenberg平坦性およびバリア構成を用いて $C^{1,\alpha}$ 正則性であることが示された。
• 正則自由境界点付近では、解はメトリクスおよび法線微分に依存する関数 $G_{x_0}(x)$ を含む先導的漸近展開を持つ。
• 法線微分 $\tilde{b}(x_0) = \partial_{n+1}w(x_0^+)$ は、$3/2$ 階自由境界集合上で $C^{0,\frac{1}{2}+\alpha}$ 正則性を示す。
• 非ゼロおよび内部の薄障害物に対して、$W^{1,p}$ メトリクスおよび $W^{2,p}$ 障害物（$p > 2(n+1)$）を用いる場合、解は最適 $C^{1,\min\{1-\frac{n+1}{p},\frac{1}{2}\}}$ 正則性を達成する。
• $v_{x_0}(x) = w(x) - \tilde{b}(x_0)x_{n+1}$ を用いた吹き出し解析により、吹き出し極限の一意性が保証され、漸近推定を元の解 $w$ に移すことが可能になる。