[論文レビュー] The Variance-Gamma Distribution: A Review

Adrian G. Fischer, Robert E. Gaunt+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2023

Stochastic processes and financial applications被引用数 13

ひとこと要約

VG分布の包括的で最新の総説。分布理論、表現、推定、およびGH分布や Wiener space との関連について詳述する。

ABSTRACT

The variance-gamma (VG) distributions form a four-parameter family which includes as special and limiting cases the normal, gamma and Laplace distributions. Some of the numerous applications include financial modelling and distributional approximation on Wiener space. In this review, we provide an up-to-date account of the basic distributional theory of the VG distribution. Properties covered include probability and cumulative distribution functions, generating functions, moments and cumulants, mode and median, Stein characterisations, representations in terms of other random variables, and a list of related distributions. We also review methods for parameter estimation and some applications of the VG distribution, including the aforementioned applications to financial modelling and distributional approximation on Wiener space.

研究の動機と目的

• VG分布の基本的な分布理論を1つの参照資料に要約する。
• PDF、CDF、モーメント、累積量、および主要な性質の式を統合する。
• 表現、無限分割性、自己分割性、および関連する分布について論じる。
• パラメータ推定法と金融および Wiener space における応用を検討する。

提案手法

• VG(r, θ, σ, μ) によるパラメータ化された VG PDF とその極限形を提示する。
• 分布特性を導出して列挙する：特別な場合のCDF、生成関数、モーメント、累積量、モード/中央値。
• VGを正規・ガンマ変数で表現する表現、およびガンマの差としての表現を提供する。
• リーヴィー密度とリーヴィー–カーン形式による無限分割性と自己分割性を説明する。
• GH分布および他の関連分布との関連性を説明する。
• 金融と Wiener space におけるパラメータ推定アプローチと主要な応用を要約する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラメータ領域全体での VG(r, θ, σ, μ) の基本的な分布特性は何か？
• RQ2 VGはより単純な確率変数（正規、ガンマ、カイ二乗）としてどのように表すことができ、理論とシミュレーションにどのような影響があるか？
• RQ3 VGと関連分布（GH、CGMY、Laplace、Gamma）との関係およびそれらの極限場合は何か？
• RQ4 特に金融および Wiener space上の分布近似において、VGをどのように推定およびアプリケーションモデル化に用いることができるか？
• RQ5 VGの理論・応用利用を促進する Stein 表現と畳み込み特性は何か？

主な発見

• VGは正規分布、ガンマ分布、 Laplace分布を一般化する4パラメータ系である。
• VGは無限分割可能で自己分割可能であり、Lévy密度は特定の指数関数形で与えられる。
• VGは正規-分散-平均混合として、またガンマ/カイ二乗成分の和または差として表現できる。
• 閉形式のCDFは特別な場合にのみ存在し、一般の場合は漸近的尾部と特殊関数表現を必要とする。
• VGはGH分布およびCGMYの極限ケースとして生じ、正規-分散-平均混合表現を介して多変量VG形態と結びつく。
• VGはシミュレーションと推定に有用な幾つかの厳密な表現を内包する（例：gammaと正規変数からのVG、特定の場合の積/商形式）。