[論文レビュー] The Virtual Element Method with curved edges

L. Beirão da Veiga, A. Russo+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2017

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、曲がった境界を有する曲がった領域における楕円型問題を解くために、曲がった辺を有する仮想要素法（VEM）を提案する。曲がった境界のパrametric表現を活用することで、幾何的近似の誤差を回避し、最適な収束率を達成する。標準的なVEM（直線辺）では、幾何的近似のため高次精度が最適でないが、本手法は曲がった多角形要素を用いて領域境界を正確に適合させることで、最適な収束率を維持する。

ABSTRACT

In this paper we initiate the investigation of Virtual Elements with curved faces. We consider the case of a fixed curved boundary in two dimensions, as it happens in the approximation of problems posed on a curved domain or with a curved interface. While an approximation of the domain with polygons leads, for degree of accuracy $k \geq 2$, to a sub-optimal rate of convergence, we show (both theoretically and numerically) that the proposed curved VEM lead to an optimal rate of convergence.

研究の動機と目的

• 直線辺を有する多角形メッシュを用いた場合に生じる曲がった領域の近似において、標準仮想要素法（VEM）の収束が最適でないという問題に対処する。
• 境界のパrametric表現を用いて曲がった辺を組み込んだVEMフレームワークを構築し、正確な幾何的適合を可能にする。
• 多角形近似によって生じる幾何的整合性の誤差を排除することで、高次法（k ≥ 2）において最適な収束率を保証する。
• 追加の幾何的複雑性にもかかわらず、計算の単純さを維持する。実装は標準VEMと類似しており、計算効率が保たれる。
• 特に工学的・科学的シミュレーションにおいて、曲がった界面や複雑な幾何形状を有する問題へのVEMの適用範囲を拡張する。

提案手法

• 境界曲線の区分的正則パラメータ表示を用いて、曲がった多角形要素を定義し、m ≥ 0 に対して C^{m+1} の滑らかさを確保する。
• 基底関数の明示的計算を避けるVEMの主要特徴を保ちつつ、物理空間上に直接仮想要素空間を構築する。
• 弧長パラメータ表示または単位速度パラメータ表示を用いて、曲がった辺の幾何的表現を一貫的かつ安定にする。
• 曲がった要素上での離散双一次形式の補間誤差推定および安定性バインディングを導出し、標準的な仮定のもとで収束を証明する。
• パラメトリック境界表現に適合した高次数の数値積分ルールを用いて、曲がった多角形上での数値積分を実装する。
• 統合とパラメータ表示処理のわずかな変更を除き、コアVEMフレームワークを再利用することで、計算効率を維持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 仮想要素法は、最適な収束率を保ちつつ、曲がった境界を扱えるように拡張可能か？
• RQ2 高次VEMにおいて、曲がった領域を直線辺を有する多角形で近似した場合、幾何的近似誤差が収束に与える影響は何か？
• RQ3 曲がった多角形要素をどのように構築・パラメータ表示すれば、VEMフレームワークの安定性と精度を維持できるか？
• RQ4 追加の幾何的複雑性にもかかわらず、提案された曲がったVEMは、標準VEMと同等の計算の単純さを保っているか？
• RQ5 内部に曲がった界面（例：不連続係数を有する問題）を有する問題に対しても、最適な収束率を達成できるか？

主な発見

• 提案された曲がったVEMは、k ≥ 2 に対して最適な収束率を達成するが、直線辺を有する標準VEMでは、幾何的近似誤差のため収束が最適でない。
• 数値実験により、曲がったVEMがH¹およびL²ノルムの両方で最適な収束を維持することが確認され、収束次数は理論的予測と一致する。
• ボロノイメッシュおよび均一メッシュの両方で良好な性能を示し、異なるメッシュタイプおよび領域幾何形状に対して頑健である。
• 内部に曲がった界面（例：不連続係数を有する問題）を有する問題では、メッシュが界面を正確に一致させる場合、最適な収束が達成される。
• 参照要素やノード配置を必要としないため、等パラメトリックFEMに比べて実装の複雑さは最小限に抑えられる。必要なのは境界のパラメータ表示のみである。
• 幾何的整合性誤差が排除されるため、高次近似において特に顕著に、標準VEM（直線辺）に比べて収束速度が優れている。