[論文レビュー] The Voevodsky motive of a rank one semiabelian variety

Stephen Enright-Ward|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、完備体上のランク1の半アーベル多様体のヴォエバドスキーモチーフを、その第一モチーフコホモロジー群の対称冪との間の標準的同型を構成することによって計算する。モチーフ的ホモトピー論の道具、特に三角圏における対称冪と対称冪に関連する完全三角形を用いて、このような半アーベル多様体のモチーフが、そのアーベル・アーリアーベル多様体と第一モチーフコホモロジーによって決定されることを確立する。これはヴォエバドスキーのモチーフ的圏（有理数係数）において、アーベル多様体およびトーリック多様体に対して既知の結果を半アーベル多様体のより広いクラスへ一般化するものである。

ABSTRACT

Over a perfect field k, let G be an extension of an abelian variety by the multiplicative group $\G_m$. We compute the motive of G in Voevodsky's category of etale motivic complexes with rational coefficients. The result is a decomposition similar to the classical decomposition of the Chow motive of an abelian variety obtained by Deninger/Murre, Kuennemann, Shermenev and Scholl, and other authors.

研究の動機と目的

• 完備体上のランク1の半アーベル多様体のヴォエバドスキーモチーフを特定すること。
• アーベル多様体およびトーリック多様体のモチーフに関する既知の結果を、半アーベル多様体のより広いクラスへ拡張すること。
• 半アーベル多様体のモチーフとその第一モチーフコホモロジー群の対称冪との間の標準的同型を確立すること。
• ヴォエバドスキーのモチーフ的圏における対称冪と層論的構成を用いて、可換群スキームのモチーフを計算するための枠組みを構築すること。

提案手法

• イデムポテンス補完とテンソル構造を用いて、Q係数をもつ有効ヴォエバドスキーモチーフの三角圏における対称冪を構成する。
• 可換群スキーム G の第一モチーフコホモロジー群 M1(G) に関手的対称冪構成を適用する。
• 写像 ϕG: MpG) → SympM1(G)) を用いて、G のモチーフとその第一モチーフコホモロジーの対称冪との関係を定式化する。
• 特に、移動層 rG 及びその対称冪に関連する、モチーフ圏における対称冪に関連する完全三角形を確立する。
• Eulerの完全三角形を適用して、半アーベル多様体のモチーフがそのアーベル・アーリアーベル多様体と第一モチーフコホモロジー群とどのように関係するかを明らかにする。
• 層論的技法、特に移動を持つ前層の層化を用いて、ニスネヴィッチ位相およびエタール位相における層の対称冪を記述する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランク1の半アーベル多様体のヴォエバドスキーモチーフは、そのモチーフコホモロジー群をどのように記述できるか？
• RQ2 半アーベル多様体のモチーフとその第一モチーフコホモロジー群の対称冪との間の関係は何か？
• RQ3 Q係数をもつヴォエバドスキーモチーフの三角圏におけるモチーフの対称冪は、どのように振る舞うか？
• RQ4 アーベル・アーリアーベル多様体は、半アーベル多様体のモチーフを決定づける役割を果たすか？
• RQ5 第一モチーフコホモロジーの対称冪を含む完全三角形を用いて、半アーベル多様体のモチーフを計算できるか？

主な発見

• ランク1の半アーベル多様体 G のヴォエバドスキーモチーフは、その第一モチーフコホモロジー群の対称冪と同型である：MpG) ≅ SympM1(G))。
• 写像 ϕG: MpG) → SympM1(G)) は同型であり、G のモチーフと M1(G) の対称冪との間の標準的同一視を確立する。
• 移動層 rG の対称冪は、前層 F の対称冪の層化と同型である：SymnpF) ≅ Symn_prep(F))。
• SympG) に対して、G のモチーフとその対称冪および第一モチーフコホモロジー群を結ぶ完全三角形が構成される。
• Eulerの完全三角形は、モチーブ的圏における重要な構造的関係を提供し、半アーベル多様体のモチーフがそのアーベル・アーリアーベル多様体と第一モチーフコホモロジー群とどのように関連するかを示す。
• トーラスのモチーフは、その第一モチーフコホモロジー群の対称冪として計算され、アーベル多様体に対して既知の結果を一般化する。