[論文レビュー] The Volume of complete anti-de Sitter 3-manifolds

Nicolas Tholozan|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2015

Geometric and Algebraic Topology参考文献 20被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、SO₀(2,1) の離散部分群 j×ρ(Γ) による商として構成される完全な反de Sitter 3次元多様体の体積が、Fuchsian表現 j と j により厳密に支配される表現 ρ のオイラー類の和に比例することを確立する。これは、反de Sitter構造の連続的変形において体積が一定であることを示す局所的体積剛性を意味する。

ABSTRACT

Up to a finite cover, closed anti-de Sitter $3$-manifolds are quotients of $\mathrm{SO}_0(2,1)$ by a discrete subgroup of $\mathrm{SO}_0(2,1) imes \mathrm{SO}_0(2,1)$ of the form \[j imes ρ(Γ)~,\] where $Γ$ is the fundamental group of a closed oriented surface, $j$ a Fuchsian representation and $ρ$ another representation which is "strictly dominated" by $j$. Here we prove that the volume of such a quotient is proportional to the sum of the Euler classes of $j$ and $ρ$. As a consequence, we obtain that this volume is constant under deformation of the anti-de Sitter structure. Our results extend to (not necessarily compact) quotients of $\mathrm{SO}_0(n,1)$ by a discrete subgroup of $\mathrm{SO}_0(n,1) imes \mathrm{SO}_0(n,1)$.

研究の動機と目的

• 閉じた反de Sitter 3次元多様体の体積が、反de Sitter構造の変形に対して不変であるかどうかという未解決問題を解消すること。
• コンパクトでない場合を含め、SO₀(n,1) の離散部分群による商 SO₀(n,1)×SO₀(n,1) への体積計算の一般化。
• 特に ρ が j により厳密に支配される場合に、体積が表現 j と ρ にどのように依存するかを明確にすること。
• 特に体積不変量がよく理解されていない高次元奇数次元における、このような商の可能な体積の範囲を調査すること。

提案手法

• AdS₃ をそのキリング計量を備えた SO₀(2,1) と同一視し、SO₀(2,1)×SO₀(2,1) の左および右乗法による作用を用いる。
• キリング計量によって誘導される SO₀(2,1) 上の体積形式を用いて、離散部分群 Γ = j×ρ(Γ) に対する商 Γ\SO₀(2,1) の体積を定義する。
• ℍ² から ℍ² への (j,ρ)--equivariant 写像 f を用い、ρ の体積を ∫_{j(Γ)\ℍ²} f*vol^{ℍ²} として定義し、適切に正規化する。
• 軌道空間上の積分を用いて、商の体積と j および ρ のオイラー類の和との比例関係を確立する。
• n ≥ 3 に対して、同様の体積積分構成と表現論的道具を用いて、SO₀(n,1) への枠組みの拡張を行う。
• 適切な離散的作用に関する Guéritaud–Kassel 定理と、収縮的-equivariant 写像の存在を用いて、体積積分の定義域を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全な反de Sitter 3次元多様体の体積は、その反de Sitter構造の連続的変形に対して不変か？
• RQ2 SO₀(n,1) の商と、定義する表現の位相的不変量（例：オイラー類）との間の正確な関係は何か？
• RQ3 n ≥ 3 の次元において、Fuchsian表現 j により厳密に支配される表現 ρ に対して、非ゼロの体積が実現可能か？
• RQ4 特に Γ が格子である場合に、SO₀(n,1) の離散部分群 j×ρ(Γ) による商の可能な体積の値は何か？
• RQ5 商の有限体積性は、j が離散的かつ忠実で、j(Γ) が SO₀(n,1) の格子であることを示唆するか？

主な発見

• SO₀(2,1) の離散部分群 j×ρ(Γ) による商 j×ρ(Γ)\SO₀(2,1) として構成される完全な反de Sitter 3次元多様体の体積は、j と ρ のオイラー類の和に比例する。
• この比例関係により、体積は局所的剛性を示す：反de Sitter構造の連続的変形に対しても体積は一定のままである。
• Fuchsian表現 j と j により厳密に支配される表現 ρ に対して、正規化された体積 1/(2π) × Vol(j×ρ(Γ)\SO₀(2,1)) は、g を曲面の genus として 1 から 4g−5 の整数値をとる。
• 高次元奇数次元 n ≥ 3 において、このような商の体積は有限であり、ρ の体積に依存するが、可能な値の全範囲はまだ不明である。
• 本論文は、SO₀(n,1) の離散部分群 SO₀(n,1)×SO₀(n,1) による商の体積を計算する枠組みを提供し、3次元での結果を一般化する。
• n ≥ 3 において、j により厳密に支配される表現 ρ に対して非ゼロ体積が実現可能かどうかは未解決の問題であり、既知の例（例：恒等写像の変形）では体積がゼロとなることが指摘されている。