[論文レビュー] The Voronoi formula on GL(3) with ramification

Zhou Fan|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2018

Advanced Algebra and Geometry参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、レベル$N$のGL(3)の自動形式に対して、$N$を割る導言子をもつ加法的特徴と$N$と互いに素な導言子をもつ加法的特徴の両方について、新たなボロノイ公式を確立する。これは、非分岐の場合に限らないミラー＝シュマイド型公式の拡張である。主な貢献は、対偶形式やアトキン＝レーナー理論に依存しない、自己完結的な証明であり、クロスターマン和とガンマ因子を含む明示的な積分変換を提供する。

ABSTRACT

Firstly we prove that the Voronoi formula of Miller-Schmid type applies to automorphic forms on GL(3) for the congruence subgroup $Γ_0(N)$, when the conductor of the additive character in the formula is a multiple of $N$. As an application, we produce a result about the functional equation of $L$-function of the automorphic form on GL(3) twisted by Dirichlet characters. Secondly we prove that a similar formula applies to automorphic forms on GL(3) for the congruence subgroup $Γ_0(N)$, when the conductor of the additive character in the formula is coprime with $N$.

研究の動機と目的

• GL(3)の自動形式に対して、レベル$N$および分岐を含む場合に、先行研究でカバーされていない状況を含めて、ミラー＝シュマイド型ボロノイ公式を拡張すること。
• 加法的特徴の導言子がレベル$N$を割る場合に、ボロノイ公式を確立すること。これは、分岐状況下でこれまで未解決であった。
• 加法的特徴の導言子が$N$と互いに素な場合に、第二のボロノイ公式を導出することにより、GL(2)における二重性に類似した状況の完全性を達成すること。
• 証明において対偶形式やアトキン＝レーナー理論に依存しないようにすることにより、高レベルの形式への一般化を可能にすること。
• 新しい公式を用いて、ディリクレ特徴でねじれた$L$関数の関数等式を導出すること。

提案手法

• 特定のユニポテンツ行列の不変性を用いて、対偶形式を必要としない$N \mid c$のボロノイ公式を導出する。
• テスト関数の積分変換を適用し、フーリエ＝ヴェイターキャッパー係数のねじれた和をクロスターマン和に関連付ける。
• GL₃(ℝ)上のマース形式の古典的理論とGL₃の逆定理を用いて、関数等式を確立する。
• 二重ディリクレ級数とヘッケ関係を用いて、$L$関数とそのねじれを関連付け、ディリクレ特徴とガウス和の性質を活用する。
• ディリクレ特徴の直交性とディリクレ級数の一意性定理を用いて、二つの式を等しくし、証明を完成させる。
• ゴールドフェルトとリー（2007）およびイチノ＝テンピラー（2014）の技術を用い、分岐を含むレベル$N$の設定に適応する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 加法的特徴の導言子がレベル$N$を割る場合に、GL(3)の自動形式に対してミラー＝シュマイド型ボロノイ公式を確立できるか？
• RQ2 導言子が$N$と互いに素な場合に、GL(2)の第二の状況に類似したボロノイ公式を導出可能か？
• RQ3 証明において対偶形式やアトキン＝レーナー理論を用いずに構築可能か？
• RQ4 新しい公式は、ディリクレ特徴でねじれた$L$関数の関数等式にどのように影響を与えるか？
• RQ5 分岐下でのボロノイ公式における積分変換とクロスターマン和の正確な構造は何か？

主な発見

• $N \mid c$の場合に、新たなボロノイ公式が証明された。この公式は、和$\sum_n A_F(n,m) \exp(2\pi i \bar{a}n/c) \omega(n)$を、クロスターマン和と積分変換$\Omega$を含む$m_1, m_2$に関する和に表現する。
• 公式$N \mid c$は方程式(1)に明示的に与えられ、右辺には$S(am, m_2; cm/m_1)$と$\Omega( m_1^2 |m_2| / (c^3 |m|) )$が含まれる。
• $(c,N)=1$の場合には、方程式(2)に第二のボロノイ公式が確立され、$\tilde{F}$、$\psi(cm)$、および$\Omega_\pm( m_1^2 m_2 / (c^3 m N) )$が含まれる。
• 証明は、ゴールドフェルト＝リー（2007）とは異なり、主公式で対偶形式を用いない。代わりに、別のユニポテンツ部分群の不変性を用いる。
• ディリクレ特徴でねじれた$L$関数の関数等式が、応用として導出され、$L$関数とそのねじれた対応物を結びつける。
• 直交性と一意性定理を用いて、二重ディリクレ級数の二つの表現が等価であることが示され、公式の正当性が確認された。