[論文レビュー] The $W$-curvature tensor on relativistic space-times

H.M. Abu-Donia, Sameh Shenawy+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2019

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 7被引用数 10

ひとこと要約

本稿は相対論的時空における$χ^*$-曲率テンソルを調査し、その幾何学的および物理的意味を確立する。発散がゼロである$χ^*$-曲率テンソルは、Codazzi型のエネルギー運動量テンソルを意味し、トレースレスな$χ^*$-テンソルはアインシュタイン時空を意味し、$χ^*$-曲率が平坦であると、完全流体モデルがエネルギー密度と圧力が一定で、$\mu + p = 0$を満たす宇宙定数として振る舞うことを強制する。これらの結果は、一般相対性理論における曲率対称性と基本的物理的性質の間の関係を示している。

ABSTRACT

This paper aims to study the $W$-curvature tensor on relativistic space-times. The energy-momentum tensor T of a space-time is semi-symmetric given that the $W$-curvature tensor is semi-symmetric whereas energy-momentum tensor T of a space-time having a divergence free $W$-curvature tensor is of Codazzi type. A space-time having a traceless $W$-curvature tensor is Einstein. A $W$-curvature flat space-time is Einstein. Perfect fluid space-times which admits $W$-curvature tensor are considered.

研究の動機と目的

• 相対論的時空における$\mathcal{W}^*$-曲率テンソルの幾何学的および物理的意義を調査すること。
• 半対称性、発散がゼロであること、平坦性といった$\mathcal{W}^*$-テンソルの性質がエネルギー運動量テンソルおよび曲率構造に与える影響を調査すること。
• 完全流体時空が$\mathcal{W}^*$-曲率対称性を示す場合に、それが宇宙定数または真空解として振る舞うための条件を特定すること。
• アインシュタインの場の方程式に関して、$\mathcal{W}^*$-曲率の性質とエネルギー運動量テンソルの対称性および保存則との関係を確立すること。

提案手法

• 本稿では、リーマン曲率テンソルおよびリッチテンソルから導かれる$(0,4)$テンソルとして$\mathcal{W}^*$-曲率テンソルを定義する：$\mathcal{W}_{ijkl}^* = R_{ijkl} - \frac{1}{n-1}(g_{jk}R_{il} - g_{jl}R_{ik})$。
• 時空が$\mathcal{W}^*$-半対称であることを定義するための条件$R(\zeta,\xi)\cdot\mathcal{W}^* = 0$を分析し、対応する曲率テンソルおよびリッチテンソルの対称性を導出する。
• 発散は$\nabla_\mu \nabla_\nu \mathcal{W}_{ijkl}^*$を用いて計算され、エネルギー運動量テンソルのCodazzi性と関連づけられる。
• トレースレスな$\mathcal{W}^*$-テンソルを不変成分に分解することで、トレースがゼロであると$R_{ij} = \frac{1}{4}R g_{ij}$が導かれ、これによりアインシュタイン時空構造が得られる。
• 完全流体時空ではエネルギー運動量テンソルが$T_{ij} = (\mu + p)u_i u_j + p g_{ij}$と表現され、その$\mathcal{W}^*$-平坦性との整合性は、縮約および共変微分を用いて分析される。
• アインシュタインの場の方程式と曲率対称性の条件を組み合わせることで、$\mu$、$p$、および宇宙定数$\Lambda$に関する制約が導かれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 曲率テンソル$\mathcal{W}^*$が半対称であるとき、エネルギー運動量テンソルが半対称となる条件は何か？
• RQ2 曲率テンソル$\mathcal{W}^*$が発散がゼロである場合に生じる物理的制約は何か？ また、これはエネルギー運動量テンソルのCodazzi性とどのように関係するか？
• RQ3 $\mathcal{W}^*$-曲率が平坦である場合、完全流体時空の物理的解釈にどのような影響を与えるか？ 特に宇宙定数とどのように関連するか？
• RQ4 トレースレスな$\mathcal{W}^*$-曲率テンソルがリッチ曲率およびスカラー曲率に与える影響は何か？ これはアインシュタイン時空を意味するのか？
• RQ5 ダスト流体時空において$\mathcal{W}^*$-曲率が平坦であると、真空解に到達できるか？ どのような条件下で可能か？

主な発見

• 発散がゼロである$\mathcal{W}^*$-曲率テンソルを有する時空では、エネルギー運動量テンソルはCodazzi型である。
• $\mathcal{W}^*$-曲率が平坦である時空では、スカラー曲率が一定であり、$\nabla_l T_{ij} = 0$を満たす。これはエネルギー運動量テンソルが共変定数であることを意味する。
• $\mathcal{W}^*$-曲率が平坦である完全流体時空では、$\mu + p = 0$を満たす。これは流体がエネルギー密度と圧力が一定で、宇宙定数として振る舞うことを意味する。
• トレースレスな$\mathcal{W}^*$-曲率テンソルを有する時空はアインシュタイン時空である。これは$R_{ij} = \frac{1}{4}R g_{ij}$を意味する。
• $\mathcal{W}^*$-曲率が平坦であるダスト流体時空では、アインシュタインの場の方程式を満たすのは$T_{ij} = 0$、すなわち真空時空である場合に限る。
• スカラー曲率が一定でエネルギー運動量テンソルのトレースがゼロである$\mathcal{W}^*$-曲率が平坦な時空では、$\mu = \text{一定}$および$p = \text{一定}$が成り立ち、これは宇宙定数と整合的である。