[論文レビュー] The weak Beauville--Bogomolov decomposition in characteristic $p\geq 0$

Zsolt Patakfalvi, Maciej Zdanowicz|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 56被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、正標数 p > 0 において、弱正則性の仮定の下で、正則標準類が自明な滑らかで投影的な多様体に対して、弱い Beauville–Bogomolov 分解を確立する。このような多様体は、アーベル多様体と穏やかな特異点をもつ Calabi–Yau 型多様体の積の有限分離的被覆をもつことを示し、反例を用いて弱正則性仮定の必要性を証明する。−KX が半正である場合にも結果が拡張され、アーベル多様体への写像の等構造性が得られる。

ABSTRACT

We prove a variant of the Beauville--Bogomolov decomposition for weakly ordinary, or generally globally $F$-split, varieties $X$ with $K_X \sim 0$, in characteristic $p>0$. We also show that the weakly ordinary assumption in our statement cannot be dropped. Additionally, if the assumption $K_X \sim 0$ is replaced by $-K_X$ being semi-ample, we show the weaker statement that all closed fibers of the Albanese morphism are isomorphic. Finally, we apply our main theorem to draw consequences to the behavior of rational points and fundamental groups of weakly ordinary $K$-trivial varieties in positive characteristic.

研究の動機と目的

• 正標数における、正則標準類が自明な多様体の Beauville–Bogomolov 分解の特徴的 p 版を確立すること。
• このような分解が存在するための最小限の仮定（特に弱正則性）を特定すること。
• 正標数における K-自明多様体の有理点およびエタール基本群の振る舞いを調査すること。
• 正標数版の Demailly–Peternell–Schneider 猜測（ノン正の反標準類をもつファイブレーションの等構造性）を解決すること。
• −KX が半正である場合にまで結果を拡張し、アーベル多様体への写像の等構造性を示すこと。

提案手法

• Froベニウス作用が H^n(X, O_X) 上で全単射であることで定義される弱正則多様体の概念を用いる。
• F-分割と強く F-正則な特異点の理論を用いて、分解における特異点を制御する。
• 半正則性定理およびベクトル束の数的平坦性を用いて、相対正則層および基本変形性質を分析する。
• 対数 Isom スキームおよび曲線上へのファイブレーションの等構造性基準の理論を適用し、グローバルな等構造性を導出する。
• アーベル多様体上へのファイブレーションに帰着するために、アーベル多様体写像およびその基本変形性質を用いる。
• −KX/T −Δ がノン正であり、(X, Δ) が klt であることから、消失定理を適用し、家族におけるコホロロジーを制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正標数における K-自明多様体に対して、弱い Beauville–Bogomolov 分解が存在する条件は何か？
• RQ2 弱正則性仮定なしに分解を達成できるか。もし不可能ならば、その理由は何か？
• RQ3 KX ∼ 0 の代わりに −KX が半正であるとき、アーベル多様体写像はどのように変化するか？
• RQ4 正標数において、klt かつノン正の反標準類をもつペアのアーベル多様体写像の等構造性は、その条件の結果として生じるか？
• RQ5 有理点および基本群に関する結果は、正標数における単連結でない K-自明多様体へどの程度まで拡張可能か？

主な発見

• 弱正則性かつグローバルに F-分割される KX ∼ 0 をもつ多様体に対して、弱い Beauville–Bogomolov 分解が、アーベル多様体と特異点をもつ Calabi–Yau 型多様体の積の有限分離的被覆に関して成立する。
• 弱正則性仮定は必要不可欠である：反例が構成され、非弱正則の場合に分解が成立しないことが示される。
• KX ∼ 0 が −KX が半正に置き換えられる場合、アーベル多様体写像のすべてのファイバーが同型となるが、分解は弱くなる。
• 反標準類がノン正である klt ペアのアーベル多様体写像は、特記事項（付録）において Codogni と共に、特徴的ゼロにおいて等構造的であることが示される。
• 弱正則性をもつ K-自明多様体のエタール基本群は、ほぼアーベル的であり、有理点はアーベル多様体写像によって制御される。
• 主結果は、増大不正則性 bq(X) が有限であり、最大のアーベル被覆を実現することを示し、古典的結果を正標数へ拡張する。