[論文レビュー] The Weierstrass preparation theorem and resultants of $p$-adic power series

Laurent Berger|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2019

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ひとこと要約

本稿では、ワイエルシュトラスの準備定理の普遍版を証明することにより、p進形式のべき級数に対する普遍的結果式を導入する。2つのp進べき級数fとgの係数に関するべき級数Resn({fi}, {gi})を構成し、fとgがp進の開単位円板内で共通の根を持つときかつそのときに限り、それが消えることを示す。主な貢献は、p進設定における結果式を通じて共通の根を検出する構成的で係数ごとの公式を提供することであり、古典的な代数的結果をp進環上のべき級数へと拡張するものである。

ABSTRACT

We define the resultant of two power series with coefficients in the ring of integers of a $p$-adic field. In order to do this, we prove a universal version of the Weierstrass preparation theorem.

研究の動機と目的

• p多項式の古典的結果式に類似したp進べき級数のための結果式を定義すること。
• p進環上の無限べき級数における結果式の理論を、特にp進単位円板上での有界正則関数の文脈において拡張すること。
• 2つのp進べき級数が共通の根を持つかどうかを判定するための、係数に関する普遍的べき級数を用いた構成的基準を提供すること。
• p進解析における共通の根や因数分解を、ワイエルシュトラスの準備定理のような代数的道具を用いて研究する基盤を確立すること。

提案手法

• 形式的べき級数環Rn = Z[Fn, F⁻¹ₙ, {Fk}k≥n+1][[F₀,…,Fₙ₋₁]]上での普遍的ワイエルシュトラスの準備定理を証明し、任意のべき級数F(X) ∈ Rn[[X]]が、Pが(F₀,…,Fₙ₋₁)を法として特徴的で、UがRn[[X]]内の単元であるようなF = PUに一意に分解されることを示す。
• 結果式Resn({fi}, {gi})を、fとgの係数に関するべき級数として定義し、fの根zがp進の開単位円板内にあるすべてのzについて、g(z)の積を計算する。
• 普遍的準備定理を用いて、Fの係数に関して、特徴的な多項式Pと単元Uの係数の明示的公式を導出する。
• この構成を用いて、ニュートン多角形理論と制限されたべき級数環における因数分解を応用し、単位球面|z| = 1における根のための普遍的ヘンゼル因数分解定理を定義する。
• 指定された最小および最大の非零係数を持つべき級数に適応した手法を用いて、単位球面における根を検出するための結果式Resn,dを構成する。
• RnとSn,dにおける分離的かつ完備な位相を活用し、因数分解および結果式の構成における収束性と一意性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 p多項式の古典的結果式に類似したp進べき級数のための結果式を定義することは可能か？
• RQ2 p進べき級数の文脈において、因数分解が係数に依存するのを制御するため、ワイエルシュトラスの準備定理をどのように普遍化できるか？
• RQ3 2つのp進べき級数がp進の開単位円板内で共通の根を持つかどうかを検出する、普遍的な代数的公式は存在するか？
• RQ4 この理論を、開円板ではなく単位球面|z| = 1における共通の根の検出にまで拡張することは可能か？
• RQ5 所定の非零係数次数を指定したべき級数に制限した場合の結果式の代数的構造は何か？

主な発見

• 本稿では、p進の開単位円板内で2つのp進べき級数fとgが共通の根を持つときかつそのときに限り消える、普遍的結果式Resn({fi}, {gi}) ∈ Z[Fn, F⁻¹ₙ, {Fk}k≥n+1][[F₀,…,Fₙ₋₁]]を構成する。
• 結果式は、fのワイエルシュトラス次数がnであるとき、f(z)=0を満たすすべての根z ∈ mCpについてg(z)の積として定義され、この積はfとgの係数に関する収束するべき級数として表現される。
• 普遍的ワイエルシュトラスの準備定理（定理B）により、任意のべき級数F(X) ∈ Rn[[X]]が、Pが(F₀,…,Fₙ₋₁)を法として特徴的で、UがRn[[X]]内での単元であるようなF = PUに一意に分解されることを保証する。
• この構成により、スティルチェス行列や行列式を用いずに、古典的結果式のp進版を積の公式を通じて実現する。
• 単位球面|z| = 1における根のための普遍的ヘンゼル因数分解定理を確立し、µmin(f) = nおよびµmax(f) = n+dを満たすOK{X}内のべき級数fは、Pが次数dのモニック多項式で、U ∈ OK{X}がU ≡ Fn+dXⁿ mod In,dを満たすようなf = PUに一意に因数分解されることを示す。
• 単位球面における共通の根を検出するための結果式Resn,dを構成し、ニュートン多角形理論と制限されたべき級数環を用いて、開円板の場合から球面設定へと一般化する。