[論文レビュー] The Witten genus and vertex algebras

Pokman Cheung|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、複素多様体上のチャイナル微分作用素の細分解を与える微分的高次元 conformal 作用素代数の層を構成し、Witten の生成関数をその層のコホモロジーの特徴として幾何的実現する。主な結果は、この分解のコホモロジーの重み付き特徴が Witten の生成関数として現れることであり、これは第一および第二のチェーン類が消える多様体に限らない、より広いクラスのストリング多様体へとその幾何的解釈を拡張する。その根拠は、曲率形式に関する障害理論的条件に拠る。

ABSTRACT

This article is the first report of an ongoing project aimed at finding a geometric interpretation of the Witten genus and other tmf classes. Section 2 reviews the sheaves of chiral differential operators (CDOs) over a complex manifold, including their construction, obstructions and relation with the Witten genus. In section 3, the structure of each sheaf of CDOs is reorganized in terms of modules over the sheaf of holomorphic functions. This invokes the notion of a differential graded vertex algebroid. The construction of sheaves of CDOs is due to Gorbounov, Malikov and Schechtman, and so is the notion of a vertex algebroid; the differential graded version is first introduced here. Section 4 contains the main result, namely the construction of a sheaf of differential graded conformal vertex algebras that provides a fine resolution of a sheaf of CDOs. This `infinite dimensional Dolbeault complex' plays a role for the Witten genus similar to that of the Dolbeault complex for the Todd genus.

研究の動機と目的

• c1 と c2 が自明でない多様体への Witten の生成関数の幾何的解釈を、c1 = c2 = 0 の古典的設定を超えて拡張すること。
• 複素多様体上のチャイナル微分作用素を細分解する微分的高次元 conformal 作用素代数の層を構成すること。
• Todd の生成関数がドゥルベオール複体が果たす役割を模倣する分解を用いて、Witten の生成関数のコホモロジー的特徴を確立すること。
• ch1 と ch2 の消えることという位相的障害を、微分形式および曲率接続の観点から明確にすること。
• Witten の生成関数の物理的起源と tmf および σ-向きの関係を、作用素代数的構造を通じて統一すること。

提案手法

• 複素多様体 M 上に、局所的な作用素代数構造と貼り合わせデータ ξ を用いて、チャイナル微分作用素 D^ch_{M,ξ} の層を構成し、c1(M)=c2(M)=0 が有理数的条件下で成り立つようにする。
• D^ch_{M,ξ} を O_M-加群としての代数的構造を形式化するため、微分的高次元（dg）作用素アーベイドの概念を導入する。
• dH = -Tr(R∧R) を満たすグローバルな (3,0)+(2,1)-形式 H を用いて、グローバルな conformal 構造を実現する分解複体 E^{ch,•}_{M,H} を構成する。
• 分解複体のコホモロジーにおいて、Virasoro 代数と中心指数 2d に整合するグローバルな conformal ベクトル場 ν を定義する。
• 分解複体におけるドゥルベオール型微分 ∂^ch を用いてコホモロジーを計算し、それが conformal 作用素スーパosalgebra 構造を誘導することを示す。
• コホモロジーの特徴を W(M)/η(q)^{2d} として導出し、Witten の生成関数がコホモロジーの重み付きトレースとして現れることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 c1 = c2 = 0 でない多様体における古典的設定を超えて、作用素代数を用いた Witten の生成関数の幾何的解釈はどのように可能か？
• RQ2 複素多様体上のチャイナル微分作用素の背後にある代数的構造は何か？ そして、微分的高次元手法を用いてどのようにグローバル化できるか？
• RQ3 分解複体にグローバルな conformal 構造が存在するための必要十分条件は何か？
• RQ4 分解複体 E^{ch,•}_{M,H} は、tmf および σ-向きの幾何的モデルとしてどのように機能するか？
• RQ5 曲率形式 Tr(R) と Tr(R∧R) は、コホモロジカル不変量を通じて Witten の生成関数をモジュラー形式として実現する際に果たす役割は何か？

主な発見

• Witten の生成関数 W(M) は、微分的高次元 conformal 作用素代数の層のコホモロジー、具体的には H^*(Γ(E^{ch,•}_{M,H}), ∂^ch) の特徴として現れ、η(q)^{-2d} の因子を除いて一致する。
• 分解複体 E^{ch,•}_{M,H} の構成には、dH = -Tr(R∧R) を満たすグローバルな (3,0)+(2,1)-形式 H の存在が必要であり、これは ch2(M) の消えることと位相的に同値である。
• グローバルな conformal 構造が存在するための必要十分条件は、dA = Tr(R) を満たすグローバルな (1,0)-形式 A の存在であり、これは ch1(M)=0 と同値である。
• 分解複体のコホモロジーは、特徴が W(M)/η(q)^{2d} である conformal 作用素スーパosalgebra と同型であり、Witten の生成関数の幾何的実現が達成される。
• ξ の存在および conformal 構造の存在に対する障害類は、それぞれ Tr(R) と Tr(R∧R) で表され、これらが消えるのは M がストリング多様体であるときである。
• 本結果により、c1 と c2 が自明でない多様体に限らない、すべてのストリング多様体へと Witten の生成関数の幾何的解釈が拡張され、作用素代数的手法を用いて tmf-向きが符号化された分解を用いることで実現される。