[論文レビュー] The Yamabe problem on Dirichlet spaces

Kazuo Akutagawa, Gilles Carron+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2013

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 23被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、スカラー曲率の代わりに一般化エネルギー汎関数におけるポテンシャル項を用いて、ヤマベ問題をディリクレ空間へ一般化する。一般化されたアビンの不等式を確立し、ヤマベ不変量が局所不変量より厳密に小さい場合に最小化子の存在を示し、特異的および非リーマン的設定、例えばヘイセンベルク群モデルを有する接触多様体を含む設定へも可解性を拡張する。

ABSTRACT

We continue our previous work studying critical exponent semilinear elliptic (and subelliptic) problems which generalize the classical Yamabe problem. In [3] the focus was on metric-measure spaces with an `almost smooth' structure, with stratified spaces furnishing the key examples. The criterion for solvability there is phrased in terms of a strict inequality of the global Yamabe invariant with a `local Yamabe invariant', which captures information about the local singular structure. All of this is generalized here to the setting of Dirichlet spaces which admit a Sobolev inequality and satisfy a few other mild hypotheses. Applications include a new approach to the nonspherical part of the CR Yamabe problem.

研究の動機と目的

• スカラー曲率の役割を一般化するため、ディリクレ形式とポテンシャル項を備えたディリクレ空間へのヤマベ問題の拡張。
• 滑らかな状況と類似する、一般化されたヤマベ不変量および局所ヤマベ不変量の定義。
• 一般化されたアビンの不等式の確立、すなわちグローバルヤマベ不変量が局所不変量によって上から抑えられることの証明。
• ヤマベ不変量 $ Y(M) < Y_{\ell}(M) $ の厳密不等式条件のもとで、一般化されたヤマベエネルギーに対する最小化子の存在の証明。
• 一般化されたヤマベ方程式の解が有界であること、一様正であること、およびホルダー連続であることの確立。

提案手法

• 古典的問題におけるスカラー曲率の代わりに、ディリクレ形式 $ \mathcal{E} $、ポテンシャル $ V $、測度 $ \mu $ を用いて一般化されたヤマベエネルギー汎関数を定義する。
• グローバルヤマベ不変量 $ Y(V) $ を、計量およびポテンシャルの共形変動に関する一般化エネルギーの下界として定義する。
• 局所ヤマベ不変量 $ Y_{\ell}(M) $ を、接錐やモデル空間（例えばヘイセンベルク群）におけるヤマベ不変量の下界として定義する。
• 一般化されたアビンの不等式の証明：$ Y(V) \leq Y_{\ell}(M) $、特異的および滑らかでない設定へも古典的不等式を拡張する。
• 変分法およびソボレフ型不等式を用いて、$ Y(V) < Y_{\ell}(M) $ のとき最小化子の存在を確立する。
• 超局所正則性理論を適用し、ヤマベ方程式の解が非リーマン的文脈でさえも滑らかで有界であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スカラー曲率の代わりにポテンシャル項を用いることで、ディリクル空間におけるヤマベ問題を一般化できるか？
• RQ2 この設定において一般化されたアビンの不等式が成り立つか。特に、グローバルヤマベ不変量が局所不変量によって上から抑えられるか。
• RQ3 一般化されたヤマベエネルギーが最小化子をもつのはどのような条件下か？
• RQ4 一般化されたヤマベ方程式の解がどのような正則性を持つのか？
• RQ5 これらの結果は、ヘイセンベルク群モデルを有する接触多様体のような非リーマン的構造にどのように適用できるか？

主な発見

• ポテンシャル項を有するディリクル空間に対して、一般化されたアビンの不等式 $ Y(M, \mu, \mathcal{E}, V) \leq Y_{\ell}(M, \mu, \mathcal{E}, V) $ が成立する。
• $ Y(M, \mu, \mathcal{E}, V) < Y_{\ell}(M, \mu, \mathcal{E}, V) $ のとき、一般化されたヤマベエネルギーは最小値に達し、最小化子の存在が保証される。
• 特異的または非リーマン的設定においても、一般化されたヤマベ方程式の解は有界かつ一様正である。
• 解はホルダー連続であり、接触リーマン多様体の場合は、部分ラプラシアンの超局所正則性により滑らかである。
• 結果は接触リーマンヤマベ問題に適用され、厳密不等式条件のもとで、定数タナカ＝ウェブスタースカラー曲率をもつ接触計量の存在が証明される。
• ヘイセンベルク群は局所不変量のモデル空間であり、$ Y(\mathfrak{h}_m, [\theta_0, g_0]) > 0 $ が成り立ち、局所不変量は計量の小さな摂動に対して安定である。