[論文レビュー] Theoremata arithmetica nova methodo demonstrata

Leonhard Euler, Artur Diener+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2012

History and Theory of Mathematics被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、オイラーのトゥータント関数を用いてフェルマーの小定理を一般化する、革新的な代数的手法を提示する。オイラーは、任意の整数 $ a $ が $ N $ と互いに素である場合、$ a^{ heta(N)} \equiv 1 \pmod{N} $ が成り立つことを証明した。ここで $ \phi(N) $ は、$ N $ より小さいかつ $ N $ と互いに素な整数の個数を表す。主な貢献は、算術級数とモジュラ逆数の性質を用いた、この一般化の基礎的証明であり、現在では数論におけるオイラーの定理として知られる理論的基盤を確立している。

ABSTRACT

Euler presents a third proof of the Fermat theorem, the one that lets us call it the Euler-Fermat theorem. This seems to be the proof that Euler likes best. He also proves that the smallest power x^n that, when divided by a numer N, prime to x, and that leaves a remainder of 1, is equal to the number of parts of N that are prime to n, that is to say, the number of distinct aliquot parts of N. The translation is presnted from Euler's Latin original into German.

研究の動機と目的

• 素数でない法にまで拡張されたフェルマーの小定理を一般化すること。
• $ N $ より小さいかつ $ N $ と互いに素な整数の個数を体系的に決定する方法を開発すること、すなわち $ \phi(N) $ を定義し計算すること。
• $ \gcd(a, N) = 1 $ の場合に $ a^{\phi(N)} - 1 $ が $ N $ で割り切れる、すなわち一般の合同式法則を確立すること。
• 算術級数とモジュラ逆数の性質を用いた、この結果の新しい構成的証明を提供すること。

提案手法

• $ N $ と互いに素な公差 $ d $ を持つ算術級数を用い、その法 $ N $ における剰余が $ 0 $ から $ N-1 $ のすべての整数をカバーすることを示す。
• $ d $ が $ N $ と互いに素である場合、級数 $ a, a+d, a+2d, \dots, a+(N-1)d $ の最初の $ N $ 項が、法 $ N $ においてすべて異なる剰余を生じることを証明する。
• ピーコンホールド原理を適用して、これらの $ N $ 個の異なる剰余が、$ 0, 1, \dots, N-1 $ をすべて含む必要があることを示し、これにより割り切れることが導かれる。
• $ \phi(N) $ を $ N $ より小さいかつ $ N $ と互いに素な整数の個数として定義し、$ \gcd(a, N) = 1 $ の場合に $ a^{\phi(N)} \equiv 1 \pmod{N} $ を証明する。
• $ a $ の法 $ N $ における位数を、$ a^{\nu} \equiv 1 \pmod{N} $ を満たす最小の $ \nu $ として定義し、$ \nu \mid \phi(N) $ であることを示す。
• $ x^{\nu} \equiv 1 \pmod{N} $ ならば $ x^{k\nu} \equiv 1 \pmod{N} $ が成り立つことを利用し、$ \nu $ の倍数である全指数 $ \phi(N) $ も同様に合同式を満たすことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フェルマーの小定理を合成数の法にどのように一般化できるか？
• RQ2 $ \gcd(a, N) = 1 $ の場合に $ a^{\nu} \equiv 1 \pmod{N} $ を満たす最小の指数 $ \nu $ は、何によって決定されるか？
• RQ3 乗法的群の法 $ N $ における構造は何か？ また、$ N $ と互いに素な要素はいくつあるか？
• RQ4 一般の合同式法則 $ a^{\phi(N)} \equiv 1 \pmod{N} $ を確立できるか？
• RQ5 $ a $ の法 $ N $ における位数と $ \phi(N) $ の関係は何か？

主な発見

• 任意の整数 $ a $ が $ N $ と互いに素である場合、$ a^{\phi(N)} - 1 $ は $ N $ で割り切れる。すなわち $ a^{\phi(N)} \equiv 1 \pmod{N} $ が成り立つ。
• $ \phi(N) $ は、オイラーのトゥータント関数として知られ、$ N $ より小さいかつ $ N $ と互いに素な整数の個数を数える。
• $ a^{\nu} \equiv 1 \pmod{N} $ を満たす最小の指数 $ \nu $ は、$ \phi(N) $ を割り切る。すなわち $ \nu \mid \phi(N) $ が成り立つ。
• $ N $ が素数の場合、$ \phi(N) = N-1 $ であり、この結果はフェルマーの小定理 $ a^{N-1} \equiv 1 \pmod{N} $ に帰着する。
• 証明は、$ N $ と互いに素な公差 $ d $ を持つ算術級数が、法 $ N $ において $ N $ 個の異なる剰余を生成し、$ 0 $ から $ N-1 $ のすべての値をカバーすることに依拠している。
• この結果は、すべての $ a $ に対して $ \gcd(a, N) = 1 $ を満たす場合に成り立ち、指数 $ \phi(N) $ は、このような $ a $ 全てに対して一様に成立する最大の指数である。