[論文レビュー] There are no 76 equiangular lines in $R^{19}$

Wei-Hsuan Yu|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2015

Finite Group Theory Research参考文献 9被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、76本の等角線が ℝ¹⁹ に存在しないことを、それらの配置が強い正則グラフ (75,32,10,16) の存在を意味するだろうと示すことによって証明している。この強い正則グラフは、以前に存在しないことが証明済みである。結果として、19次元における等角線の最大本数 M(19) の上界は75以下にまで低下し、さらに ℝ²⁰ における関連する強い正則グラフおよび96本の等角線の非存在が示唆される。

ABSTRACT

Maximum size of equiangular lines in $\mathbb{R}^{19}$ has been known in the range between 72 to 76 since 1973. Acoording to the nonexistence of strongly regular graph $(75,32,10,16)$ \cite{aza15}, Larmen-Rogers-Seidel Theorem \cite{lar77} and Lemmen-Seidel bounds on equiangular lines with common angle $\frac 1 3$ \cite{lem73}, we can prove that there are no 76 equiangular lines in $\mathbb{R}^{19}$. As a corollary, there is no strongly regular graph $(76,35,18,14)$. Similar discussion can prove that there are no 96 equiangular lines in $\mathbb{R}^{20}$.

研究の動機と目的

• 19次元空間 ℝ¹⁹ に76本の等角線が存在できるかどうかという長年の未解決問題を解消すること。
• 19次元空間における等角線の最大本数 M(19) の既知の上界のギャップを埋めること。
• 等角線、等角フレーム（ETF）、強い正則グラフ（SRG）の間の関係を確立すること。
• 同様の手法を ℝ²⁰ における96本の等角線および関連するSRGの非存在を示すために拡張すること。

提案手法

• Neumannの定理を用いて、M > 2n の場合に ℝ¹⁹ における等角線の共通角を 1/3 または 1/5 に制限する。
• Lemmens–Seidelの境界を適用して、76本の線に対する 1/3 の角が不適切であることを排除する。
• 角が 1/5 である76本の等角線が等角フレーム（ETF）を形成することを示し、それにより強い正則グラフ (75,32,10,16) の存在を示唆する。
• 既に知られている (75,32,10,16) の強い正則グラフの非存在を根拠に、ℝ¹⁹ に76本の等角線が存在できないと結論づける。
• 強い正則グラフの双対性および補完性を用いて、(76,35,18,14) 及び関連するグラフの非存在を示す。
• ℝ²⁰ に対して同様の議論を拡張し、96本の等角線が存在しないことと、(96,45,24,18) 及び (96,38,10,18) の強い正則グラフの非存在を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1973年以来上界が76のままだったが、ℝ¹⁹ に76本の等角線が存在できるか？
• RQ2 ℝ¹⁹ に76本の等角線が存在するならば、強い正則グラフ (75,32,10,16) の存在を意味するか？
• RQ3 強い正則グラフ (75,32,10,16) の非存在を用いて、ℝ¹⁹ に76本の等角線が存在しないことを証明できるか？
• RQ4 ETF、SRG、球面2距離集合の間の関係を活用して、非存在の結果を導くことができるか？
• RQ5 同様の手法を用いて、ℝ²⁰ に96本の等角線が存在しないことを示すことができるか？

主な発見

• ℝ¹⁹ に76本の等角線は存在しない。これにより、M(19) は最大75本にまで低下する。
• 強い正則グラフ (75,32,10,16) の非存在は、ℝ¹⁹ に76本の等角線が存在しないことを示唆する。
• 系として、強い正則グラフ (76,35,18,14) 及びその補グラフ (76,40,18,24) は存在しない。
• 本手法を拡張することで、ℝ²⁰ に96本の等角線は存在せず、(96,45,24,18) 及び (96,38,10,18) の強い正則グラフも存在しないことが示された。
• 本稿では、ETF(19,76,1/5) が存在しないことが確認され、高次元における類似配置の解析のための枠組みが提供される。
• 結果は、M(19) = 72 であるという予想を支持しており、72本の等角線はすでにウィット設計を用いて実現可能である。