[論文レビュー] Thermalisation for Stochastic Small Random Perturbations of Hyperbolic Dynamical Systems

Gerardo Barrera, Milton Jara|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、原点に一意の双曲的吸引子をもつ双曲的力学系に対する確率的で小さな確率的摂動を研究する。解がカットオフ現象を示すことを確立している：短い時間ウィンドウの後、平衡状態からの距離が最大からほぼゼロへと急激に低下し、その後指数関数的に速やかに収束する。収束プロファイルが普遍関数に収束する条件も特定している。

ABSTRACT

We consider an ordinary differential equation with a unique hyperbolic attractor at origin. Now we add a small random perturbation to this differential equation. Under general conditions, as times goes by the solution of this stochastic differential equation converges to an equilibrium distribution that is well approximated by a Gaussian random variable of standard deviation proportional to the strength of the perturbation. In fact this convergence, for each fixed perturbation, is exponentially fast. We show that the convergence is actually abrupt: in a time windows of small size compared to the natural time scale of the process, the distance to equilibrium drops from its maximal possible value to near zero, and only after this time window the convergence is exponentially fast. This is what is known as the cut-off phenomenon in the context of Markov chain of increasing complexity. Moreover we are able to give general conditions to prove convergence of the distance to equilibrium to a universal function, a fact known as profile cut-off.

研究の動機と目的

• 確率的で小さな確率的摂動が加えられた双曲的力学系の長期的挙動を理解すること。
• 平衡状態への収束が、非平衡状態から平衡状態への急激な遷移を示すカットオフ現象を示すかどうかを調査すること。
• 平衡状態への収束プロファイルが、系固有の詳細に依存しない普遍的関数に収束する一般条件を同定すること。
• 遷移時間ウィンドウの後、指数関数的に速やかに平衡状態への収束が成立することを確立すること。ここでウィンドウの長さは、プロセスの自然時間スケールに比べてはるかに小さい。

提案手法

• 原点に一意の双曲的吸引子をもつ決定論的ODEから導かれる確率微分方程式を分析する。
• ノイズに一般条件を適用し、解が摂動強度に比例する標準偏差をもつガウス平衡分布に収束することを保証する。
• 大偏差理論とカップリング技術を用いて、平衡状態からの距離の時間発展を分析する。
• 自然時間スケールに比べて非常に小さいサイズの時間ウィンドウを特定し、その中で平衡状態からの距離が最大からほぼゼロへと急激に低下する。
• このウィンドウの後、平衡状態への収束が指数関数的に速くなることを確立する。
• 距離の収束プロファイルが普遍関数に収束する条件を導出し、これをプロファイル・カットオフと呼ぶ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双曲的系に対する確率的摂動は、カットオフ現象を示す急激な平衡状態への遷移を示すか？
• RQ2 平衡状態からの距離が急激に低下する時間ウィンドウは、系の自然時間スケールに比べて著しく小さいと特定できるか？
• RQ3 距離の収束プロファイルが普遍関数に収束する一般条件は何か？
• RQ4 摂動が加えられた系の平衡分布は、摂動強度に比例する標準偏差をもつガウス分布でよく近似できるか？
• RQ5 距離の初期の急激な低下の後、どのようにして平衡状態への指数関数的収束が生じるか？

主な発見

• 確率微分方程式の解は、摂動強度に比例する標準偏差をもつガウス確率変数でよく近似できる平衡分布に収束する。
• 収束は二段階に分けられる：自然時間スケールに比べてはるかに小さい時間ウィンドウ内で、平衡状態からの距離が急激に低下し、その後指数関数的に速やかに収束する。
• カットオフ現象が観察される：平衡状態からの距離は、狭い時間間隔内で最大からほぼゼロへと急激に遷移する。
• 距離の収束プロファイルが普遍関数に収束する一般条件が同定され、プロファイル・カットオフが確立される。
• カットオフウィンドウの後、収束速度は指数関数的に速く、摂動による小さな揺らぎの下でも平衡状態の安定性が確認される。
• 結果はノイズに関する一般条件のもとで成り立つため、小さな確率的摂動を受ける広範な双曲的系に普遍的に適用可能である。