[論文レビュー] Thermalization/Relaxation in integrable and free field theories: an Operator Thermalization Hypothesis

Philippe Sabella-Garnier, Koenraad Schalm+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2019

Quantum many-body systems被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、自由または可解な量子場理論における特定の複合演算子が、保存量が存在するにもかかわらず熱化するメカニズムを説明する「演算子熱化仮説」を提唱する。レッティケート2点関数の分析を通じて、演算子の行列要素が特定の減衰条件を満たす場合に熱化が生じることを示し、臨界横磁場イジング模型のような系における相関関数の指数的減衰という見かけの矛盾を解消する。

ABSTRACT

Free or integrable theories are usually considered to be too constrained to thermalize. For example, the retarded two-point function of a free field, even in a thermal state, does not decay to zero at long times. On the other hand, the magnetic susceptibility of the critical transverse field Ising is known to thermalize, even though that theory can be mapped by a Jordan-Wigner transformation to that of free fermions. We reconcile these two statements by clarifying under which conditions conserved charges can prevent relaxation at the level of linear response and how such obstruction can be overcome. In particular, we give a necessary condition for the decay of retarded Green's functions. We give explicit examples of composite operators in free theories that nevertheless satisfy that condition and therefore do thermalize. We call this phenomenon the Operator Thermalization Hypothesis as a converse to the Eigenstate Thermalization Hypothesis.

研究の動機と目的

• 自由または可解な量子場理論が無限に多くの保存量を持つにもかかわらず、線形応答においても熱化が起こり得るという見かけの矛盾を解消すること。
• 散乱のない状況下でも、レッティケートグリーン関数が指数的に減衰するための必要条件を同定すること。
• 2次元CFTにおける頂点演算子や横磁場イジング模型における磁化感受率といった特定の複合演算子が、理論の自由／フェルミオン的性質にもかかわらず熱化することを示すこと。
• エイジェンステート熱化仮説（ETH）の逆を提示するものとして、「演算子熱化仮説」を提唱すること。この仮説は保存量を持つ系に適用可能である。

提案手法

• ハミルトニアンの熱状態におけるエルミート演算子 𝒪 のレッティケート2点関数を、GR(x−x′,t−t′)=−iΘ(t−t′)⟨[𝒪(x,t),𝒪(x′,t′)]⟩β として定義する。
• 長時間におけるGRの指数的減衰が熱化を定義する条件として適用し、系が初期摂動を「忘れる」ことを意味する。
• コherent状態技術とCampbell-Hausdorffの公式を用いて、自由ボソンCFTにおける頂点演算子の行列要素を計算し、特に⟨:e^{−iξϕ(x,t)+iξϕ(0,0)}:⟩β を焦点とする。
• 場ϕのモード展開を実行し、1/(e^{βx}−1)=∑_{m=1}^∞ e^{−βxm} という恒等式を用いて熱的期待値を計算する。
• モードごとの和を評価し、L→∞ の極限をとることで、相関関数の長時間挙動を双曲線関数で表す。
• 最終的な結果として、⟨:e^{−iξϕ(x,t)+iξϕ(0,0)}:⟩β ∼ [π(t−x)/β sinh(π(t−x)/β)]^{ξ²/4π} × [π(t+x)/β sinh(π(t+x)/β)]^{ξ²/4π} を導出。|t|→∞ において指数的減衰が生じることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由または可解な場理論において、保存量が存在するにもかかわらず、レッティケートグリーン関数がどのようにして指数的に減衰する条件があるのか。
• RQ2 臨界横磁場イジング模型における磁化感受率が、フェルミオンに写像可能であるにもかかわらずなぜ熱化するのか。
• RQ3 自由場理論における複合演算子は、どのようにして熱化挙動を示すことができるのか。そのメカニズムは何か。
• RQ4 演算子熱化仮説はエイジェンステート熱化仮説（ETH）とどのように異なり、どのように補完するのか。
• RQ5 演算子構造（例：頂点演算子）は、非相互作用系における熱化を可能にする役割を果たすのか。

主な発見

• 2次元自由ボソンCFTにおける頂点演算子のレッティケート2点関数は、長時間において指数的に減衰し、熱化を示している。
• 相関関数の長時間挙動は、sinh(π(t±x)/β) を含む項の積として与えられ、|t|→∞ で指数的に減衰する。
• 臨界横磁場イジング模型における磁化感受率の熱化は、それが熱化の減衰条件を満たす複合演算子に対応していることによって説明できる。
• 熱化の条件は保存量の有無ではなく、エネルギー基底における演算子の行列要素の構造にある。
• 演算子熱化仮説は、従来の「緩和なし」の常識が成り立たない可解系において、複合演算子の構造のおかげで熱化が可能であるメカニズムを提供する。
• 導出過程から、自由理論であっても特定の演算子が位相のずれによって初期状態の記憶を失い、相関関数が指数的に減衰することが示された。