[論文レビュー] Theta Vacua and Boundary Conditions of the Schwinger Dyson Equations

Santiago Molina García, G. S. Guralnik+1 more|ArXiv.org|Dec 7, 1996

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 1被引用数 29

ひとこと要約

本稿では、量子場理論におけるシュヴィンガー＝ダイソン方程式が、標準的な実数経路積分を超える豊富な解を有することを示している。これは、複素平面における非同値な複素経路の和を含む経路積分の一般化によって達成される。これらの特異な解は一般化されたシータ真空状態に対応し、対称性の spontaneously broken な状態、臨界現象、行列模型における物理的状態を記述するために不可欠である。これは、実数場に対して作用が下から有界であっても同様である。

ABSTRACT

Quantum field theories and Matrix models have a far richer solution set than is normally considered, due to the many boundary conditions which must be set to specify a solution of the Schwinger-Dyson equations. The complete set of solutions of these equations is obtained by generalizing the path integral to include sums over various inequivalent contours of integration in the complex plane. We discuss the importance of these exotic solutions. While naively the complex contours seem perverse, they are relevant to the study of theta vacua and critical phenomena. Furthermore, it can be shown that within certain phases of many theories, the physical vacuum does not correspond to an integration over a real contour. We discuss the solution set for the special case of one component zero dimensional scalar field theories, and make remarks about matrix models and higher dimensional field theories that will be developed in more detail elsewhere. Even the zero dimensional examples have much structure, and show some analogues of phenomena which are usually attributed to the effects of taking a thermodynamic limit.

研究の動機と目的

• 量子場理論におけるシュヴィンガー＝ダイソン方程式の解の完全な集合を特定・分類すること、特に標準的な実数経路積分では捉えきれない解を含むこと。
• シュヴィンガー＝ダイソン方程式における境界条件が作用によって一意に決定されないことを示し、複素積分経路を用いた一般化によって境界条件を拡張できることを示すこと。
• 複素経路による特異解が、特に対称性の破れや臨界現象において物理的に重要であることを示すこと。
• Borel再帰化による摂動的級数とシュヴィンガー＝ダイソン方程式の解との間の関係を、複素経路積分によって確立すること。
• 特定の相、特に行列模型や熱力学的極限においては、物理的真空状態が実数積分経路に対応しないことがあり、複素経路の導入が不可避であることを主張すること。

提案手法

• 標準的な実軸積分を超えて、複素平面における非同値な複素経路の和を含む経路積分の形式を一般化すること。
• Borel再帰化技術を用いて摂動的級数と非摂動的解との関係を関係づけ、Borel平面における積分経路が解を決定することを示すこと。
• 生成関数 $ Z_{\bar{\rho}} $ を $ t $ に関する経路積分として定義し、$ F_{\bar{\rho}} = \bigintsss dt\thinspace e^{-t} B_{\bar{\rho}}(t)/\sqrt{t} $ と表す。ここで $ B_{\bar{\rho}}(t) $ は $ t=0 $ で極が重なり合うことによって生じる。
• シュヴィンガー＝ダイソン方程式および作用原理から導かれる微分作用素 $ \hat{\cal L} $ と $ \hat{H}_n $ を用いて、解の形を制約すること。
• 運動方程式の古典的解 $ \phi_{\alpha,i}(t) $ に関する恒等式を用いて、経路積分が運動方程式および作用原理を満たすことを示すこと。
• 極が $ t=0 $ に重なった際に $ \sum_i (-1)^i $ 要素が $ t=0 $ での境界項をキャンセルし、特定の経路に対して作用原理と整合的であることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界条件を実数積分経路を超えて一般化した場合、シュヴィンガー＝ダイソン方程式の完全な解の集合は何か？
• RQ2 作用が実数場に対して下から有界であっても、なぜ複素経路による特異解が物理的に重要なのか？
• RQ3 複素経路は、量子場理論におけるシータ真空状態および対称性の破れとどのように関係するか？
• RQ4 実数積分が失敗する場合でも、複素経路を用いて行列模型や次元ゼロの場理論の解の完全な集合を回復できるか？
• RQ5 熱力学的極限は、異なる境界条件からの解の重合に果たす役割は何か？また、熱力学的極限が失敗するのはどのような場合か？

主な発見

• 有限次元場理論におけるシュヴィンガー＝ダイソン方程式の完全な解集合は、経路積分における非同値な複素経路の和を取ることで得られ、標準的な実軸積分を超える一般化が可能である。
• 複素経路による特異解は一般化された格子シータ真空状態に対応し、対称性が破れた相や臨界現象における物理的状態を記述するために不可欠である。
• 実固有値に対して有界なポテンシャルを持つ行列模型では、実数積分では得られないが、複素経路を用いることで実数二重スケーリング極限を持つ物理的解が得られる。
• Borel平面 $ t $-空間における経路が境界項を消すように選ばれ、特に極が $ t=0 $ に重なった場合、シュヴィンガー＝ダイソン方程式および作用原理を満たす解が得られる。
• 経路積分表現 $ F_{\alpha} = \int dt\thinspace e^{-t} B_{\alpha}(t)/\sqrt{t} $ は、特異点の周囲を閉じる経路、または $ \text{Re}(t) = +\infty $ で始まり終わる経路に対して、運動方程式および作用原理を満たす。このとき $ \sum_i (-1)^i $ 要素が $ t=0 $ での境界寄与項をキャンセルする。
• 平坦な方向が存在しない理論においては、複素経路の手法が次元ゼロのモデルを越えて、高次元および多体系へ一般化可能であることが示唆されるが、完全な証明は未解決のままである。