[論文レビュー] Thirty years of studies of integrable reductions of Einstein's field equations

Г. А. Алексеев|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2010

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 21被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、4次元以上におけるアインシュタイン場方程式の可積分還元に関する30年間の研究をレビューし、対称性を伴う重力、ストリング重力、スーパ Trim 重力モデルに焦点を当てる。逆散乱法、バッケンド変換、リーマン＝ヒルベルト法の発展を詳細に記述し、自己双対的スペクトル問題の定式化が、真空中、電磁場を伴う真空、および低エネルギー有効ストリング理論におけるソリトン解と解生成技術を可能にする点に重点を置く。

ABSTRACT

More than thirty years passed since the first discoveries of various aspects of integrability of the symmetry reduced vacuum Einstein equations and electrovacuum Einstein - Maxwell equations were made and gave rise to constructions of powerful solution generating methods for these equations. In the subsequent papers, the inverse scattering approach and soliton generating techniques, Bäcklund and symmetry transformations, formulations of auxiliary Riemann-Hilbert or homogeneous Hilbert problems and various linear integral equation methods have been developed in detail and found different interesting applications. Recently many efforts of different authors were aimed at finding of generalizations of these solution generating methods to various (symmetry reduced) gravity, string gravity and supergravity models in four and higher dimensions. However, in some cases it occurred that even after the integrability of a system was evidenced, some difficulties arise which do not allow the authors to develop some effective methods for constructing of solutions. The present survey includes some remarks concerning the history of discoveries of some of the well known solution generating methods for these equations, brief descriptions of various approaches and their scopes as well as some comments concerning the possible difficulties of generalizations of various approaches to more complicate gravity models and possible ways for avoiding these difficulties.

研究の動機と目的

• 過去30年間におけるアインシュタイン場方程式の可積分還元の歴史的発展と現在の状態を調査すること。
• 逆散乱法、バッケンド変換、リーマン＝ヒルベルト問題などの解生成法が、対称性を伴う重力モデルにおいてどの程度効果的で、どのような限界を有するかを分析すること。
• ストリング理論やスーパーグラビティ理論を含む、より複雑な重力モデルへの可積分技法の一般化における課題を特定すること。
• 自己双対的スペクトル問題とモノドロミー変換アプローチが、解の構成における従来の障害をどのように克服したかを強調すること。
• 先行のレビューで見過ごされたり誤解されたりした結果を批判的に評価し、既存の文献とは補完的な視点を提供すること。

提案手法

• 非線形アインシュタイン方程式を線形積分方程式に写像するために、逆散乱法（ISM）および関連する線形スペクトル問題（例：ラクス対、AKNS系）を用いる。
• 行列係数とジョルダン標準形および第一積分に関する代数的還元条件を有する自己双対的スペクトル問題を用いたモノドロミー変換アプローチを適用する。
• 複素スペクトル平面における曲線上に任意関数を定めたリーマン＝ヒルベルト問題を定式化し、解の生成に用いる。
• スペクトルデータまたはモノドロミー・データに基づくドレッシング手続きと非線形重ね合わせを用いてソリトン解を構成する。
• 高次元重力およびストリングモデルにおける複素対称およびヘルミート型ポテンシャルの行列エルンスト方程式に、スペクトル問題を適応させる。
• 統一されたスペクトル定式化を用いて、低エネルギー有効ヘテロティックストリング理論（ドライソン、ゲージ場、非対称テンソル場を含む）へと枠組みを拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称性を伴うアインシュタイン方程式における可積分構造は、無限階層の正確な解の構成をどのように可能にするか？
• RQ2 非線形方程式への直接的な一般化を妨げる主な数学的障壁は何か？
• RQ3 自己双対的スペクトル問題の定式化は、シグマモデル形式のような従来のアプローチの限界をどのように克服するか？
• RQ4 ジョルダン標準形および行列積分への還元条件は、スペクトル問題と元の非線形方程式との間の同等性をどのように保証するか？
• RQ5 モノドロミー変換および積分方程式法は、低エネルギー有効ストリング理論およびスーパーグラビティ理論へどの程度拡張可能か？

主な発見

• 自己双対的スペクトル問題の定式化により、真空中、電磁場を伴う真空、および低エネルギーストリング重力モデルが共通の代数的構造を通じて統一的に取り扱えるようになった。
• モノドロミー変換アプローチは、特定の対称性を持つ行列積分条件を用いることで、ソリトン変換における解の非閉包性といった問題を効果的に解決した。
• 検討されたすべての重力モデルにおいて、スペクトル問題と還元条件は同じ構造的形を有しており、次元、ジョルダン標準形、第一積分の対称性の違いのみが異なる。
• この手法により、ソリトン解の構成が可能となり、Gelfand-Levitan-Marchenkoなどの積分方程式技法の高次元およびより複雑な場の理論への一般化が可能になった。
• このアプローチは、重力、ドライソン、ゲージ場、非対称テンソル場を含むヘテロティックストリング理論における対称性を伴う全系の方程式に成功裏に適用された。
• 進展は見られたが、非アーベル的または非対称なモデルへの可積分技法の拡張には課題が残っており、特に還元条件が解空間の閉包性を保証しなくなる場合に顕著である。