[論文レビュー] Thompson Field Theory

Deniz E. Stiegemann|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 7被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、チムソン群Tがチャーラルな自己対称群の有限アナロジーとして作用する、離散的で玩具的な conformal field theory（CFT）のモデル、Thompson場理論を導入する。円と単位区間のdyadic分割から構成される半連続的極限ヒルベルト空間を用いて、FおよびTのユニタリ表現を実現し、Imbertの同型写像を介したPennerのPtolemy群との関係を通じて、ブロック境界対応を確立し、場演算子および相関関数を定義する。主な貢献は、Thompson群とAdS3およびテンソルネットワークを結ぶ、新しい離散的ホログラフィー枠組みの構築である。

ABSTRACT

We introduce Thompson field theory, a class of toy models of conformal field theory in which Thompson's group T takes the role of a discrete analogue of the chiral conformal group. T and the related group F are discrete transformations of dyadic partitions of the circle and the unit interval, respectively. When vectors or tensors are associated with partitions, one can construct a direct limit Hilbert space, here called the semicontinuous limit, and F and T have unitary representations on this space. We give an abstract description of these representations following the work of Jones. We also show that T can be thought of as acting on the boundary of an equal-time Poincaré disk in AdS3. This defines a representation of T on the Hilbert space that contains all tree-like holographic states, as introduced by Pastawski, Yoshida, Harlow, and Preskill. It also establishes a bulk-boundary correspondence through Imbert's isomorphism between T and Penner's Ptolemy group. We further propose definitions of field operators and correlation functions for the discrete theory. Finally, we sketch new developments like particle creation and annihilation, as well as black holes and possible connections with topological quantum field theory.

研究の動機と目的

• Thompson群FおよびTを対称性として用いることにより、 conformal field theory（CFT）の離散的アナロジーを構築すること。
• 円および区間のdyadic分割からなる半連続的極限ヒルベルト空間を構築し、FおよびTのユニタリ表現を可能にすること。
• Ptolemy群の同型写像を用いて、離散的AdS3設定においてブロック境界対応を確立すること。
• 量子スピン系およびテンソルネットワークの文脈で、この離散的枠組みにおいて場演算子および相関関数を定義すること。
• 粒子生成、ブラックホール、トポロジカル量子場理論への接続を含む物理的拡張を検討すること。

提案手法

• 円（T用）および区間（F用）のdyadic分割を用いて、直接極限ヒルベルト空間（半連続的極限と呼ばれる）を構築する。
• ジョーンズのカテゴリカル枠組みおよび三価テンソルネットワークを用いて、FおよびTのユニタリ表現を実現する。
• ポincare円板をAdS3に埋め込み、Tの境界上での作用を定義し、Pastawskiらのホログラフィック状態と関連付ける。
• ImbertのThompson群TとPennerのPtolemy群との間の同型写像を用いて、ブロック境界対応を確立する。
• 半連続的極限における場演算子およびn点相関関数を定義し、短距離挙動および融合則を分析する。
• Poincaré円板の離散的コボルドィズムおよびタイル張りを用いて、粒子生成およびブラックホールをモデル化し、商空間によるBTZに類似した幾何を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Thompson群Tは、量子場理論において、チャーラルな自己対称群の離散的アナロジーとしてどのように機能するか？
• RQ2 dyadic分割から構築された半連続的極限ヒルベルト空間の構造は何か？ また、FおよびTはその上にどのようにユニタリに作用するか？
• RQ3 TとPtolemy群の同型写像を用いて、離散的設定においてブロック境界対応を確立できるか？
• RQ4 この離散的枠組みにおいて、場演算子および相関関数はどのように定義され、その短距離挙動はどのような性質を示すか？
• RQ5 この枠組みは、粒子生成、ブラックホール、および物理的に意味のある離散的コボルドィズムを意味的にモデル化するために拡張可能か？

主な発見

• Thompson群Tは、円のdyadic分割から構築された半連続的極限ヒルベルト空間上でユニタリに作用する。
• 群TはAdS3におけるPoincaré円板の境界上で作用し、ホログラフィー原理の離散的版を実現する。
• ImbertのTとPennerのPtolemy群との同型写像を用いて、ブロック境界対応が確立され、離散的幾何とテンソルネットワーク状態が結びつけられる。
• 半連続的極限における相関関数は、CFTの期待に一致する短距離スケーリング挙動を示す。
• 主場の離散的設定において、融合則および演算子積展開が導出され、CFT構造と整合的であることが示された。
• 粒子生成、BTZに類似したタイル張りを用いたブラックホール、および離散的コボルドィズムへの拡張が可能であり、トポロジカル量子場理論への接続を示唆する。