[論文レビュー] Three presentations of torus equivariant cohomology of flag manifolds

Shizuo Kaji|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2015

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、旗多様体のトーラス作用付きコホモロジーの3つの標準的表現（シューベルト基底（チェバレー表現）、二重コインヴァリアント環（ボレル表現）、GKM環（GKM表現））の間を明示的に変換するアルゴリズムを提示する。この手法により、シューベルト類の積における作用付き構造定数の体系的計算が可能となり、Mapleスクリプトとして実装され、E₈の場合における明示的計算を通じてその有用性が示されている。

ABSTRACT

Let $G$ be a compact connected Lie group and $T$ be its maximal torus. The homogeneous space $G/T$ is called the (complete) flag manifold. One of the main goals of the {\em equivariant Schubert calculus} is to study the $T$-equivariant cohomology $H^*_T(G/T)$ with regard to the $T$-action on $G/T$ by multiplication. There are three presentations known for $H^*_T(G/T)$; (1) the free $H^*(BT)$-module generated by the Schubert varieties (2) (with the rational coefficients) the {\em double coinvariant ring} of the Weyl group (3) the {\em GKM ring} associated to the Hasse graph of the Weyl group. Each presentation has both advantages and disadvantages. In this paper, we describe how to convert an element in one presentation to another by giving an explicit algorithm, which can then be used to compute the equivariant structure constants for the product of Schubert classes. The algorithm is implemented in Maple.

研究の動機と目的

• H^*_T(G/T) の3つの標準的表現（シューベルト基底、二重コインヴァリアント環、GKM環）の間での要素の変換を体系的に行う方法を提供すること。
• シューベルト類の積における作用付き構造定数 c_{uv}^w の実用的計算を可能にすること。
• これらの表現間の効率的な変換ツールの不足に応えること。これらは作用付きシューベルト計算に不可欠である。
• アルゴリズムをMapleに実装し、作用付きコホモロジーおよびシューベルト計算分野の研究における計算利用を可能にすること。

提案手法

• アルゴリズムはボレル表現を用い、作用付きコホモロジー類を最大トーラス BT のチャーン類の多項式として表現し、係数は ℚ とする。
• シューベルト類の通常コホモロジーにおける多項式代表元 σ_v の計算に、デマズール＝バーナンスタイン＝ゲルファンド（BGG）作用素法を適用する。
• ハッセ図の辺におけるGKM条件を用い、固定点におけるシューベルト類の像を、作用付き制限写像 i_p^* を通じてGKM表現を介して計算する。
• 構造定数の計算に、公式 \mathcal{S}_w(t;x) = \sigma_w(t) - \sigma_w(x) + \sum_{s_i w < w} \Delta_{s_i} \mathcal{S}_{s_i w}(t;x) をボレル表現を用いて適用する。
• アルゴリズムはMapleスクリプトとして実装され、作用付きコホモロジールール内の自動変換および積の計算を可能にする。
• 効率性を高めるために、すべての σ_v をトップから計算するのを避け、各次数ごとに線形方程式系を解き、その後 v ≤ w に対して σ_v = \Delta_{v^{-1}w} \sigma_w を用いることで、低次の代表元を伝搬する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シューベルト基底表現から H^*_T(G/T) のボレルまたはGKM表現への体系的変換方法は何か？
• RQ2 シューベルト類の積における作用付き構造定数 c_{uv}^w を効率的に計算するアルゴリズムは何か？
• RQ3 作用付きコホモロジーの3つの表現を、環構造を保ちつつ相互に変換可能にする方法は存在するか？
• RQ4 GKM表現は固定点における制限写像を用いて、どのように構造定数を計算できるか？
• RQ5 すべての σ_v をトップから計算せずに、シューベルト類の多項式代表元 σ_v を効率的に計算する最適化手法は何か？

主な発見

• 本稿では、H^*_T(G/T) のシューベルト基底、ボレル（二重コインヴァリアント）、GKM表現の間を完全に変換可能なアルゴリズムを提供し、作用付きコホモロジールールへの完全な計算的アクセスを可能にする。
• アルゴリズムはMapleに実装され、http://skaji.org/code/ で公開されており、計算研究への利用が可能である。
• G = E_8 の場合、X_{s_4 s_2}^2 = (\alpha_2\alpha_4 + \alpha_4^2)X_{s_4 s_2} + (\alpha_2 + \alpha_3 + 2\alpha_4)X_{s_3 s_4 s_2} + (\alpha_2 + 2\alpha_4 + \alpha_5)X_{s_5 s_4 s_2} + X_{s_1 s_3 s_4 s_2} + 2X_{s_3 s_5 s_4 s_2} + X_{s_6 s_5 s_4 s_2} が正しく計算され、構造定数の明示的計算が実証された。
• すべての σ_v を全計算する高コストを回避するため、各次数ごとに線形方程式系を解き、デマズール作用素を用いて低次の代表元を伝搬する。
• GKM表現により、c_{uv}^w = i_w^*(X_u)i_w^*(X_v) - \sum_{q<w} c_{uv}^q i_w^*(X_q) という帰納的計算が可能となり、l(u)+l(v) が小さい場合に非常に効率的である。
• ボレル表現は、単項式基底とデマズール作用素を用いて σ_v を計算することで、変換プロセスにおける正しさと効率性を効果的に確保する。