[論文レビュー] Three talks in Cuautitlan under the general title: Topología algebraica basada sobre nudos

Józef H. Przytycki|ArXiv.org|Sep 5, 2001

Geometric and Algebraic Topology参考文献 16被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、n-移動同値性に中心を置いた、絡み目の理論における基礎的未解決問題を提示する。特に、任意のリンクが3-移動同値で自明なリンクに同値であるというモンテシノス＝ナカニシ予想に焦点を当てる。Foxのn色付きとスキーンモジュールといった代数的トポロジー的手法を導入し、$(2,2)$-移動を対象とする新しいスキーンモジュール${\cal S}_{\frac{5}{2}}(M;R)$を提案する。これにより、多項式不変量の枠組みが得られ、9交差以下のリンクに関する未解決の予想も提示される。

ABSTRACT

Talk 1: Open problems in knot theory that everyone can try to solve. Knot theory is more than two hundred years old; the first scientists who considered knots as mathematical objects were A.Vandermonde (1771) and C.F.Gauss (1794). However, despite the impressive grow of the theory, there are simply formulated but fundamental questions, to which we do not know answers. I will discuss today several such open problems, describing in detail the 20 year old Montesinos-Nakanishi conjecture. Our problems lead to sophisticated mathematical structures (I will describe some of them in tomorrows talks), but today's description will be absolutely elementary. Talk 2: Lagrangian approximation of Fox $p$-colorings of tangles. The talk will culminate in the introduction of the symplectic structure on the boundary of a tangle in such a way that tangles yields Lagrangians in the symplectic space. Talk 3: Historical Introduction to Skein Modules. I will discuss, in my last talk of the conference, skein modules, or as I prefer to say more generally, algebraic topology based on knots. I would like to discuss today, in more detail, skein modules related to the (deformations) of 3-moves and the Montesinos-Nakanishi conjecture but first I will give the general definition and I will make a short tour of the world of skein modules.

研究の動機と目的

• 3-移動同値性による自明なリンクへの同値性を示すモンテシノス＝ナカニシ予想を、基本的な移動と不変量を用いて調査すること。
• 3-移動を超えて$(2,2)$-移動同値性にまで拡張した、任意のリンクが自明なリンクに同値であるというより広い予想を検討すること。
• 有理数移動に基づく新しいスキーンモジュール${\cal S}_{\frac{5}{2}}(M;R)$を構築し、既存のスキーン理論を一般化すること。
• JonesやKauffmanの多項式不変量とFox色付き（特に素数$p$-色付き）との関係を調査すること。
• 予想に対する最小の反例を特定すること。具体的には、$9_{49}$絡み目や5ブレードリンク$(\sigma_1\sigma_2\sigma_3\sigma_4)^{10}$を想定する。

提案手法

• n-移動を局所的なリンク変換として用い、位相的同値性（同倫的同値性ではない）を保存するが、同相ではない。
• リーデマイスター移動を用いて図式同値を定義し、n-移動と組み合わせてリンク図式のn-移動同値性を定義する。
• n-移動で不変なFox n-色付きを導入し、3色付きを用いて自明なリンクを区別する。
• 有理数移動に基づく新しいスキーンモジュール${\cal S}_{\frac{5}{2}}(M;R)$を提案。6項関係式に、$L_2, L_1, L_0, L_{\infty}, L_{-1}, L_{-1/2}$のリンクが関与し、フレーミング関係式を含む。
• 初期条件$P_{\frac{5}{2}}(T_n) = t^n$と2つの対称的スキーン関係式を満たす多項式不変量$P_{\frac{5}{2}}(L)$を定義する。
• ホップリンクの鏡像対称性とアンフィケイラリティを用いて、スキーン関係式における係数に制約を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のリンクは3-移動同値で自明なリンクに同値か？（モンテシノス＝ナカニシ予想）
• RQ2 任意のリンクは$(2,2)$-移動同値で自明なリンクに同値か？（ハリカエ＝ナカニシ予想）
• RQ3 与えられたスキーン関係式と初期条件を満たす多項式不変量$P_{\frac{5}{2}}(L)$を構成できるか？
• RQ4 スキーンモジュール${\cal S}_{\frac{5}{2}}(M;R)$の構造は何か？ また、既知の不変量とどのように関係するか？
• RQ5 $9_{49}$絡み目や5ブレードリンク$(\sigma_1\sigma_2\sigma_3\sigma_4)^{10}$のような、予想に対する最小の反例は存在するか？

主な発見

• モンテシノス＝ナカニシ予想は、すべての2代数的リンクおよび多くの特殊な族（$(\sigma_1\sigma_2\sigma_3\sigma_4)^{10}$を除くすべての5ブレードリンクを含む）で成立する。
• 5ブレードリンク$(\sigma_1\sigma_2\sigma_3\sigma_4)^{10}$は、3-移動予想に対する最小の既知の潜在的反例であり、20交差の3-移動同値なリンクが同定された。
• $8_{18}$絡み目は、BuczyńskiとVeveによって$(2,2)$-移動によって自明な2成分リンクに還元可能であることが示された。
• $9_{49}$絡み目は、$(2,2)$-移動同値性に関して未解決のままであり、今後の研究の対象となる可能性がある。
• スキーンモジュール${\cal S}_{\frac{5}{2}}(M;R)$は6項関係式とフレーミング条件により定義され、以前のスキーンモジュールを一般化する。
• 初期条件$P_{\frac{5}{2}}(T_n) = t^n$と2つの対称的スキーン関係式を満たす多項式不変量$P_{\frac{5}{2}}(L)$が提案され、重要な恒等式：$P_{\frac{5}{2}}(L_2) - P_{\frac{5}{2}}(L_{-2}) = P_{\frac{5}{2}}(L_{1/2}) - P_{\frac{5}{2}}(L_{-1/2})$が得られた。