[論文レビュー] Through the Haze: a Non-Convex Approach to Blind Gain Calibration for Linear Random Sensing Models

Valerio Cambareri, Laurent Jacques|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2016

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 45被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、ノイズが混入した乗法的測定値から未知の信号と未知の正のゲインを同時に回復する必要がある線形ランダムセンシングモデルにおけるブラインドゲインキャリブレーションのための非凸プロジェクション勾配降下法を提案する。この手法は、未知数の数に対して線形（対数要因を除いて）にスケーリングされるサンプル複雑度で、正確な回復を保証し、ノイズ下でも誤差が滑らかに劣化する解に収束する。

ABSTRACT

Computational sensing strategies often suffer from calibration errors in the physical implementation of their ideal sensing models. Such uncertainties are typically addressed by using multiple, accurately chosen training signals to recover the missing information on the sensing model, an approach that can be resource-consuming and cumbersome. Conversely, blind calibration does not employ any training signal, but corresponds to a bilinear inverse problem whose algorithmic solution is an open issue. We here address blind calibration as a non-convex problem for linear random sensing models, in which we aim to recover an unknown signal from its projections on sub-Gaussian random vectors, each subject to an unknown positive multiplicative factor (or gain). To solve this optimisation problem we resort to projected gradient descent starting from a suitable, carefully chosen initialisation point. An analysis of this algorithm allows us to show that it converges to the exact solution provided a sample complexity requirement is met, i.e., relating convergence to the amount of information collected during the sensing process. Interestingly, we show that this requirement grows linearly (up to log factors) in the number of unknowns of the problem. This sample complexity is found both in absence of prior information, as well as when subspace priors are available for both the signal and gains, allowing a further reduction of the number of observations required for our recovery guarantees to hold. Moreover, in the presence of noise we show how our descent algorithm yields a solution whose accuracy degrades gracefully with the amount of noise affecting the measurements. Finally, we present some numerical experiments in an imaging context, where our algorithm allows for a simple solution to blind calibration of the gains in a sensor array.

研究の動機と目的

• 実装において一般的な問題である、未知の正のゲインによって歪められた線形ランダムセンシングシステムにおける信号回復の課題に対処する。
• 信号およびゲインの両方について事前の知識がなく、トレーニング信号を必要としない（トレーニングフリーな）キャリブレーション手法を構築し、同時に未知の信号とゲインを回復する。
• ゲインに関する弱い仮定とサンプル複雑度の下で、正確な回復に関する理論的保証を確立する。
• 信号およびゲインに部分空間の事前知識を組み込むことで、必要な測定数を削減するフレームワークを拡張する。
• ノイズに対するロバストネスを分析し、ノイズレベルの上昇に伴う回復精度の劣化が滑らかであることを示す。

提案手法

• データ適合性を最小化する非凸最適化問題として、信号-ゲイン空間全体にわたるブラインドゲインキャリブレーションを定式化する。
• グローバル最小値への収束を保証するよう、慎重に設計された初期化点を用いたプロジェクション勾配降下法を採用する。
• 各測定値が、サブガウス型のランダムベクトルへの信号の射影に、未知の正のゲインが乗じられた双線形センシングモデルを用いる。
• サブガウス型ベクトルの統計的性質を活用し、測定値の一次モーメントに基づく構造的初期化を導入する。
• 事前知識がある場合にはゲイン部分空間および信号部分空間へのプロジェクションを適用し、反復計算の過程で実行可能集合内に保持する。
• ゲインが単位行列からあまり離れていないという仮定の下で、濃縮不等式およびランダム行列の固有値特性を用いて収束バウンドを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形ランダムセンシングモデルにおける未知のゲインのブラインドキャリブレーションは、トレーニング信号なしで達成可能か。その条件は何か。
• RQ2 信号およびゲインの正確な回復を保証するための最小測定数（サンプル複雑度）は何か。
• RQ3 信号およびゲインに部分空間の事前知識がある場合、必要なサンプル複雑度にどのような影響があるか。
• RQ4 ノイズが存在する場合、アルゴリズムの性能はどのようになるか。ノイズレベルの上昇に伴い、誤差の劣化速度はどのようになるか。
• RQ5 提案された非凸最適化手法は、現実的な仮定のもとで、高確率で真の解に収束するか。

主な発見

• 提案されたプロジェクション勾配降下法は、測定数が mp = O((m + n) log²(mp)) を満たす場合、n = O(log mp) の条件下で高確率で正確な解に収束する。
• サンプル複雑度は未知数の数に対して線形に増加（対数要因を除いて）し、情報理論的下界の観点から最適である。
• 信号およびゲインに部分空間の事前知識がある場合、必要な測定数がさらに削減され、効率性が向上する。
• ノイズがある場合、アルゴリズムの回復誤差はノイズに伴い滑らかに劣化し、O(σ∥z∥) で有界である。ここで σ はノイズレベル、∥z∥ は信号ノルムである。
• 理論的解析により、収束が保証されることが示された：ゲインは ℓ∞-ノルムで有界であり、かつ単位行列からあまり離れていない（すなわち、∥g − 1m∥∞ ≤ δ で δ が小さい）。
• 画像処理の文脈における数値実験により、本手法の実用的妥当性が確認され、センサアレイのゲインに対するシンプルで高精度なブラインドキャリブレーションが可能である。