[論文レビュー] Tidy subgroups for commuting automorphisms of totally disconnected groups: an analogue of simultaneous triangularisation of matrices

George A. Willis|ArXiv.org|Feb 18, 2003

Protein Tyrosine Phosphatases参考文献 8被引用数 30

ひとこと要約

この論文は、完全不連結局所コンpakto群の可換自己同型の集合に対して、共通の整列部分群の概念を導入することにより、同時三角化の類似物を確立する。有限個の可換自己同型は共通の整列部分群を有することを証明し、逆に、共通の整列部分群をもつ自己同型群は、その部分群を保存する自己同型を除きアーベル群である。このような群の構造は、固有値に類似した部分群と、固有値に類似した実数値の自己同型の特徴づけによってさらに特徴づけられる。

ABSTRACT

Let αbe an automorphism of the totally disconnected group G. The compact open subgroup, V, if G is tidy for αif [α(V') : α(V')\cap V'] is minimised at V, where V' ranges over all compact open subgroups of G. Identifying a subgroup tidy for αis analogous to identifying a basis which puts a linear transformation into Jordan canonical form. This analogy is developed here by showing that commuting automorphisms have a common tidy subgroup of G and, conversely, that a group H of automorphisms having a common tidy subgroup V is abelian modulo the automorphisms which leave V invariant. Certain subgroups of G are the analogues of eigenspaces and corresponding real characters of H the analogues of eigenvalues.

研究の動機と目的

• 単一の自己同型に対して定義された整列部分群の理論を、可換自己同型の集合へと拡張すること。
• 有限個の可換自己同型が共通の整列部分群をもつための条件を確立すること。
• 共通の整列部分群をもつ自己同型群の代数的構造を特徴づけること。
• 完全不連結群の自己同型の文脈において、固有空間と固有値の類似物を導入すること。
• 局所的整列部分群をもつ自己同型群に関連する不変量（ランク、要因数、余ランク群）を構築すること。

提案手法

• 以前の研究で得られた整列化手順を適応し、有限個の可換自己同型に対して共通の整列部分群を生成する。
• T1性質の洗練版を導入：コンパクト開部分群Vが複数の自己同型α₁,…,αₙに対して整列的であるとは、各αⱼが拡大、収縮、または中立的として作用する部分群Vₐに分解されること。
• 各自己同型α ∈ Hに対してスケールに類似した因子を割り当てるホモモルフィズムφ: H → ℚ⁺の集合Φを定義する。
• H → ℤⁿの像としてランク群R(H)を構成し、AH = (⊕φ∈Φ ℤ)/R(H)を余ランク群として定義する。これはウェイル群とその作用に類似している。
• モジュラー関数およびスケール関数の性質（s(αⁿ) = s(α)ⁿ、∆(α) = s(α)/s(α⁻¹)⁻¹）を用いて自己同型群の構造を分析する。
• Aut(G)におけるHの正規化群を用いてΦへの置換作用を定義し、R(H)およびAHへの表現を誘導する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全不連結群の有限個の可換自己同型が共通の整列部分群をもつのはどのような条件下か？
• RQ2 共通の整列部分群をもつ自己同型群Hの代数的構造はどのように特徴づけられるか？
• RQ3 線形代数における固有値と固有空間の概念は、完全不連結群の自己同型に対してどのように一般化できるか？
• RQ4 局所的整列部分群をもつ自己同型群に関連する不変量（ランク、要因数、余ランク群）は何か？
• RQ5 Aut(G)におけるHの正規化群は、スケールホモモルフィズムの集合Φにどのように作用するか？この作用は群構造に何を明らかにするか？

主な発見

• 完全不連結局所コンパクト群の有限個の可換自己同型は、共通の整列部分群をもつ。
• 自己同型群Hが共通の整列部分群Vをもつならば、HはVを保存する自己同型を除きアーベル群である。
• Hは各自己同型が拡大、収縮、または中立的として作用する部分群Vₐへの分解をもつ。これは一般化された固有空間に類似している。
• 各α ∈ Hのスケール関数s(α)は、これらの部分群における局所的拡大係数の積として表現され、固有値に類似している。
• 要因数数f.n.(H)はΦに属する異なるスケールホモモルフィズムφの数であり、例6.11ではH ≤ SL(3, ℚₚ)に対してf.n.(H) = 6である。
• 例6.11では余ランク群AHはℤ⁴に同型であり、例6.17ではℤに同型であるため、これらの不変量は最大部分群を通じて一意ではないことが示された。