[論文レビュー] Tight Approximation Algorithms for Bichromatic Graph Diameter and Related Problems

Mina Dalirrooyfard, Virginia Vassilevska Williams+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 27被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、有向および無向グラフにおける二色グラフ直径、半径、および中心性のための、非自明な近似アルゴリズムを初めて提示する。これらのアルゴリズムは、近似要因がタイトで、ほぼ線形時間計算量を達成する。また、強い指数時間仮説（SETH）の下で、これらの境界が最適であることを示し、SETHに反するような、実行時間または近似品質の著しい改善は不可能であることを証明する。

ABSTRACT

Some of the most fundamental and well-studied graph parameters are the Diameter (the largest shortest paths distance) and Radius (the smallest distance for which a "center" node can reach all other nodes). The natural and important $ST$-variant considers two subsets $S$ and $T$ of the vertex set and lets the $ST$-diameter be the maximum distance between a node in $S$ and a node in $T$, and the $ST$-radius be the minimum distance for a node of $S$ to reach all nodes of $T$. The bichromatic variant is the special case in which $S$ and $T$ partition the vertex set. In this paper we present a comprehensive study of the approximability of $ST$ and Bichromatic Diameter, Radius, and Eccentricities, and variants, in graphs with and without directions and weights. We give the first nontrivial approximation algorithms for most of these problems, including time/accuracy trade-off upper and lower bounds. We show that nearly all of our obtained bounds are tight under the Strong Exponential Time Hypothesis (SETH), or the related Hitting Set Hypothesis. For instance, for Bichromatic Diameter in undirected weighted graphs with $m$ edges, we present an $ ilde{O}(m^{3/2})$ time $5/3$-approximation algorithm, and show that under SETH, neither the running time, nor the approximation factor can be significantly improved while keeping the other unchanged.

研究の動機と目的

• 有向および無向のグラフ（重み付き・非重み付きを含む）における二色グラフ直径、半径、中心性のための、初めての非自明な近似アルゴリズムを開発すること。
• 直径、半径、中心性問題のST、サブセット、および二色バージョンにおける、時間と近似要因のトレードオフを明確にすること。
• 強い指数時間仮説（SETH）およびハッティングセット仮説（HS）の下で、提案されたアルゴリズムの最適性を証明すること。
• パラメータ化された設定への拡張を行い、|B| や |B′| などの構造的パラメータに基づく性能を分析すること。
• 特に有向および重み付きグラフにおける、二色バージョンの近似可能性に関する理解のギャップを埋めること。

提案手法

• 無向重み付きグラフにおける二色グラフ直径のための、ランダム化された ˜O(m³/²) 時間の 5/3-近似アルゴリズムを設計し、先行研究の 2-近似を改善する。
• グラフの構造的性質を捉えるために、集合 B と B′ を用いたパラメータ化フレームワークを導入し、これらのパラメータが小さい場合にはより高速なアルゴリズムが可能になるようにする。
• 還元に基づく下界技術を採用し、直交ベクトル問題（OV）およびハッティングセット問題（HS）からグラフインスタンスを構築することで、SETHおよびHS仮説の下での難易度を証明する。
• 辺の分割とマッチング構成を用いて、直交するベクトルペアやハッティングセット解の存在に基づいて、距離や直径、半径、中心性の値を制御する。
• 段階的なグラフ構築法を用いて、パス長をシミュレートし、目的のパラメータにおける乗法的近似ギャップを強制する。
• 任意のアルゴリズムが 5/3 よりも良い近似を達成できると仮定すると、OV や HS の高速な解法が得られることを示し、SETH や HS に反するため、近似要因のタイトさを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有向および重み付きグラフにおける二色グラフ直径、半径、中心性のための非自明な近似アルゴリズムを設計できるか？
• RQ2 これらの問題における、実行時間と近似要因の最適なトレードオフは何か？
• RQ3 SETH や HS といった標準的な複雑性仮説の下で、提案された近似境界はタイトか？
• RQ4 ST-バージョンからサブセットおよび二色バージョンに移行する際、近似可能性はどのように変化するか？
• RQ5 |B| や |B′| に依存する実行時間のパラメータ化されたアルゴリズムは、構造的グラフにおいてより優れた性能を達成できるか？

主な発見

• 無向重み付きグラフにおける二色グラフ直径のための ˜O(m³/²) 時間の 5/3-近似アルゴリズムを提示し、SETH の下でこれが最適である。
• SETH の下では、無向重み付きグラフにおける二色グラフ直径の問題で、5/3 よりも良い近似要因（5/3 未満）かつ ˜O(m³/²) よりも速い実行時間のアルゴリズムは存在しない。
• 無向非重み付きグラフでは、|B| = ω(log n) のとき、二色中心性の ˜O(m|B|) 時間のほぼ 5/3-近似は SETH の下でタイトである。
• |B| = ω(log n) のとき、二色半径の ˜O(m|B|) 時間のほぼ 3/2-近似は、ハッティングセット仮説（HS）の下でタイトである。
• |B′| = ω(log n) のとき、有向二色グラフ直径の ˜O(m|B′|) 時間のほぼ 3/2-近似は、SETH の下で最適である。
• すべての下界は、非重み付きグラフに対しても成り立ち、トレードオフの下界は任意の整数 k ≥ 2 に対して有効である。