[論文レビュー] Tight FPT Approximations for Fair $k$-center with Outliers

Ameet Gadekar|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2026

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ひとこと要約

最初の決定的3近似アルゴリズムによる、公平な k-center（外れ値付き）を k による FPT 時間で、かつ unicriteria による真の近似として提供し、同アプローチを公平な k-supplier（外れ値付き）および公平範囲制約へ拡張。

ABSTRACT

The $k$-center problem is a fundamental clustering objective that has been extensively studied in approximation algorithms. Recent work has sought to incorporate modern constraints such as fairness and robustness, motivated by biased and noisy data. In this paper, we study fair $k$-center with outliers, where centers must respect group-based representation constraints while up to $z$ points may be discarded. While a bi-criteria FPT approximation was previously known, no true approximation algorithm was available for this problem. We present the first deterministic $3$-approximation algorithm running in fixed-parameter tractable time parameterized by $k$. Our approach departs from projection-based methods and instead directly constructs a fair solution using a novel iterative ball-finding framework, based on a structural trichotomy that enables fixed-parameter approximation for the problem. We further extend our algorithm to fair $k$-supplier with outliers and to the more general fair-range setting with both lower and upper bounds. Finally, we show that improving the approximation factor below $3$ is $\mathrm{W[2]}$-hard, establishing the optimality of our results.

研究の動機と目的

• ノイズのあるデータにおける堅牢で公正な中心ベースのクラスタリングを動機づける。
• 公平な k-center with outliers のための k のパラメータで FPT 時間内に真の（単一基準）近似を達成する。
• 構築中に公正性を保つための直接的な、射影に基づかないアルゴリズムを開発する。
• 外れ値付きの公平な k-supplier および公平範囲制約への手法を拡張する。
• 標準的な複雑性仮定のもとで、3近近の最適性を W[2]-hardness 結果により確立する。

提案手法

• 外れ値付きの公平な k-center から色付き k-supplier with outliers への近似不変な縮約を用い、グループを結合するために color-coding を用いる。
• OPT における高密度領域をスケールで探索する、構造的トリコチシティに導かれた FPT 時間の反復的ボール探索フレームワーク。
• 色付き k-supplier with outliers の3近似アルゴリズムを、時間 2^{O(k log k)} · poly(n) で実行。
• 反復過程の各フェーズで最適クラスターをカバーすることを保証する充足（チャージ）解析。
• 2^{O(k)} poly(|X|) 時間で実現する決定的版を得るためのデandom化。
• 単位グループと公平範囲制約への拡張を、縮約と同様の反復的手続きで実現。

Figure 1 : The rectangle represents the full point set, while the colored discs correspond to the optimal clusters, with the remaining area representing outliers. The relative sizes of the discs illustrate the densities of the clusters. The iterative ball-finding subroutine is invoked for the denses

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 k による FPT 時間で、公平な k-center with outliers に対する真の unicriteria 近似を得られるか？
• RQ2 この問題に対して 3近似は標準的な複雑性仮定の下で最適であり、FPT 時間で改良可能か？
• RQ3 公平な k-supplier with outliers および公平範囲制約へ、近似因子と FPT 実行時間を保ちながら拡張できるか？
• RQ4 外れ値の存在下でも、射影に基づかない方法で公正性を構築全体に適用できるか？
• RQ5 公平な k-center with outliers の近似因子を3より改善した場合の hardness の影響は何か？

主な発見

• 外れ値付きの公平な k-center の決定的な3近似アルゴリズムが、時間 2^{O(k log k)} · poly(n) で実現可能である。
• 外れ値付きの公平な k-supplier の決定的な3近似アルゴリズムが、時間 2^{O(k log k)} · poly(n)（Corollary 2）で実現可能である。
• 公正範囲の k-center with outliers の決定的な3近似アルゴリズムが、時間 2^{O(k log k)} · poly(n)（Theorem 3）で実現可能である。
• 3より小さい近似因子は W[2]-hard であり、標準的な仮定の下で FPT 時間における3近似が最適であることを示す。
• fair k-center with outliers から colorful k-supplier with outliers への縮約とそのデandomization は、射影を使わずに構造化されたカラフルな問題を解くことを可能にし、以前は unicriterion の保証を妨げていた。
• 結果は単位グループ要件と一般化制約設定へのフレームワーク拡張を可能にしつつ、同じ FPT 時間・3近似保証を維持する。