[論文レビュー] Tight size-degree bounds for sums-of-squares proofs

Massimo Lauria, Jakob Nordstr”öm|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2015

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 32被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、4-CNF論理式を構築することにより、和の平方（SOS）証明におけるサイズと次数の鋭いトレードオフを確立する。n 個の変数上で定義されたこれらの論理式は、次数 d の SOS 証明を必要とするが、サイズは nΩ(d) に達する。これにより、Lasserre のSDP緩和法の nO(d) の実行時間の最適性が、指数部の定数要因を除いて証明される。この結果は、低次のSOS還元と相対化および制限技術を組み合わせることで達成される。

ABSTRACT

We exhibit families of 4-CNF formulas over n variables that have sums-of-squares (SOS) proofs of unsatisfiability of degree (a.k.a. rank) d but require SOS proofs of size nΩ(d) for values of d = d(n) from constant all the way up to nδ for some universal constant δ. This shows that the nO(d) running time obtained by using the Lasserre semidefinite programming relaxations to find degree-d SOS proofs is optimal up to constant factors in the exponent. We establish this result by combining NP-reductions expressible as low-degree SOS derivations with the idea of relativizing CNF formulas in [Krajicek '04] and [Dantchev and Riis '03], and then applying a restriction argument as in [Atserias, Muller, and Oliva '13] and [Atserias, Lauria, and Nordstrom '14]. This yields a generic method of amplifying SOS degree lower bounds to size lower bounds, and also generalizes the approach in [ALN14] to obtain size lower bounds for the proof systems resolution, polynomial calculus, and Sherali-Adams from lower bounds on width, degree, and rank, respectively.

研究の動機と目的

• 未満た可能性のための和の平方（SOS）証明の次数とサイズの複雑さのギャップを埋めること。
• LasserreのSDP緩和法による次数-d のSOS証明を求める nO(d) の実行時間が、指数部の定数要因を除いて最適であることを示すこと。
• SOS次数下界をサイズ下界に拡張するための一般的な手法を開発すること。
• 幅、次数、ランクの下界に基づいて、解像度、多項式計算、Sherali-Adamsといった他の証明系へ一般化する。

提案手法

• 低次のSOS導出として表現可能なNP還元と、Krajicek（2004）およびDantchev-Riis（2003）の相対化技術を組み合わせる。
• Atserias, Muller, and Oliva（2013）およびAtserias, Lauria, and Nordstrom（2014）にインspiredされた制限論法を適用し、次数下界をサイズ下界に拡張する。
• n 個の変数上で定義された、SOS次数 d と証明サイズ nΩ(d) の間でトレードオフを示す4-CNF論理式を構築する。
• 一般的なフレームワークを用いて、複数の証明系において次数下界をサイズ下界に変換する。
• CNF論理式の構造とその相対化を活用し、高いSOS次数だが大きな証明サイズを持つ論理式を設計する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SOS次数下界を証明系のサイズ下界に体系的に拡張することは可能か？
• RQ2 LasserreのSDP緩和法による次数-d のSOS証明を求める nO(d) 実行時間は、指数部の定数要因を除いて最適か？
• RQ3 有界次数を持つ論理式に対して、未満た可能性のSOS証明の最小サイズは何か？
• RQ4 相対化と制限の技術を、代数的証明複雑度におけるサイズ-次数トレードオフを確立するためにどのように適合させられるか？
• RQ5 この手法は、解像度、多項式計算、Sherali-Adamsといった他の証明系へ一般化可能か？

主な発見

• 本論文は、n 個の変数上で定義された4-CNF論理式を構築し、それらは次数 d のSOS証明を必要とするが、サイズは nΩ(d) に達する。これにより、次数とサイズの鋭いトレードオフが確立される。
• これにより、LasserreのSDP緩和法による次数-d のSOS証明を求める nO(d) 実行時間が、指数部の定数要因を除いて最適であることが証明される。
• この構成は、定数から nδ までのすべての d = d(n) の値に対して、このトレードオフを達成する。ここで δ は普遍定数である。
• この手法は、SOS次数下界をサイズ下界に変換するための一般的な拡張技術を提供する。
• このアプローチは、解像度、多項式計算、Sherali-Adamsへ一般化可能であり、それぞれ幅、次数、ランクの下界に基づいてサイズ下界を導出する。