[논문 리뷰] Tiling Spaces, Codimension One Attractors and Shape

Alexander Clark, John Hunton|arXiv (Cornell University)|2011. 05. 04.

Quasicrystal Structures and Properties참고 문헌 36인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 동역학계에서 codimension one 확장하는 안착점과 비정기 타일링 공간 사이의 깊은 위상적 연결고리를 확립하며, 이러한 안착점이 유한한 점을 제거한 (d+1)-토러스(또는 비가역적인 경우 이중 덮개)와 형태 동치임을 보여준다. 동치 코homology를 가진 타일링을 구분할 수 있는 새로운 호몰로지 불변량을 도입하여, 단지 일차원 투영 타일링만이 codimension one 안착점으로 나타날 수 있음을 증명하며, 펜로즈 타일링과 같은 고내부 차원 타일링은 배제된다.

ABSTRACT

We show that any codimension one hyperbolic attractor of a diffeomorphism of a (d+1)-dimensional closed manifold is shape equivalent to a (d+1)-dimensional torus with a finite number of points removed, or, in the non-orientable case, to a space with a 2 to 1 covering by such a torus-less-points. Furthermore, we show that each orientable attractor is homeomorphic to a tiling space associated to an aperiodic tiling of Rd, but that the converse is generally not true. This work allows the definition of a new invariant for aperiodic tilings, in many cases finer than the cohomological or K-theoretic invariants studied to date.

연구 동기 및 목표

• 동역학계에서 codimension one 확장하는 안착점의 위상적 구조를 규명하는 것.
• 쿼라크리스탈과 치환 규칙에서 유래된 비정기 타일링 공간과 이러한 안착점 사이의 관계를 탐구하는 것.
• 폐쇄 다양체 위의 미분동형사상의 안착점으로서 실현될 수 있는 타일링 공간에 대한 위상적 제약 조건을 규명하는 것.
• Čech 코hom로지 또는 K-이론보다 더 세밀한 불변량을 제공하는 비정기 타일링을 위한 새로운 호몰로지 불변량을 개발하는 것.
• 어느 타일링 공간이 codimension one 안착점으로 임베딩될 수 있는지 분류하는 것, 특히 내부 차원과 코hom로지적 장애 요소와의 관계에서.

제안 방법

• 형태 이론을 사용하여 안착점와 타일링 공간을 비교하며, 위상동형이 아닌 형태 동치에 중점을 둔다.
• Williams 이론의 역한계 구성법을 적용하여, 확장 사상 하에서 분지 다양체의 역한계로 안착점을 모델링한다.
• Mayer-Vietoris 수열을 사용하여 유한한 점을 제거한 토러스와 위상동형인 공간의 Čech 코hom로지를 계산한다.
• 기본 투영 타일링의 맥락에서 군 호몰로지 수열을 통해 유도된 호몰로지 대수를 이용해 새로운 불변량을 도입한다.
• 유리수 계수의 코hom로지에서 전이 사상(transfer map)을 사용하여 비가역적인 경우의 2중 덮개 구조를 분석한다.
• 군 호몰로지에 관한 [15]의 결과를 적용하여 투영 타일링 공간의 H¹(Ω)의 계수를 계산하며, 이것이 적어도 n + d임을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어느 타일링 공간이 폐쇄 다양체 위의 미분동형사상의 codimension one 확장 안착점으로 나타날 수 있는가?
• RQ2 codimension one 확장 안착점의 형태 유형은 무엇이며, 이는 안착점의 코hom로지에 어떤 제약을 끼치는가?
• RQ3 동일한 Čech 코hom로지를 가진 두 비정기 타일링을 더 세밀한 불변량으로 구별할 수 있는가, 만약 가능하면 어떻게 하는가?
• RQ4 내부 차원 n > 1인 기본 투영 타일링이 왜 codimension one 안착점로 실현되지 못하는가?
• RQ5 어떤 위상적 장애 요소가 타일링 공간이 codimension one 안착점으로 임베딩되는 것을 막는가?

주요 결과

• 모든 가역적인 codimension one 확장 안착점은 유한한 점을 제거한 (d+1)-차원 토러스와 형태 동치이다.
• 모든 비가역적인 codimension one 확장 안착점은 유한한 점을 제거한 (d+1)-토러스의 2대1 덮개를 갖는 공간과 형태 동치이다.
• 가역적인 안착점의 Čech 코hom로지는 k개의 점이 제거된 (d+1)-토러스와 동형이며, 0 ≤ p < d일 때 H^p(A) = Z^(d+1 choose p), H^d(A) = Z^{d+k}, p > d일 때 H^p(A) = 0이다.
• 비가역적인 경우, H^*(A; Q)의 자유 부분은 덮개 공간의 코hom로지에 포함되며, 전이 사상은 H^1(A; Q)의 차원이 최대 d+1임을 시사한다.
• 형태 동치가 codimension one 안착점와 가능한 타일링 공간은 오직 H^1(Ω; Q)의 차원이 d+1인 경우에 한하여 가능하며, 이는 내부 차원 n이 n = 1이 되도록 제한한다.
• 내부 차원 n > 1인 기본 투영 타일링은 H^1(Ω; Q)의 계수가 n + d > d + 1이므로 (d > 0일 때), codimension one 안착점로 실현될 수 없다.