[論文レビュー] Tilings in randomly perturbed graphs: Bridging the gap between Hajnal‐Szemerédi and Johansson‐Kahn‐Vu

Jie Han, Patrick Morris+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2019

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 48被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、極値的（Hajnal–Szemerédi）および確率的（Johansson–Kahn–Vu）グラフモデルの間のギャップを埋め、ランダムに摂動されたグラフにおける完全な Kr-タイリングの閾値を解明した。任意の 0 < α < 1 − 1/r に対して、最小次数 δ(G) ≥ αn である n 頂点のグラフに Θ(n^{−2/k}) 個のランダムな辺を追加すると、漸近的にほとんど確実に完全な Kr-タイリングが得られ、この閾値は α が増加するにつれて定期的な間隔で「ジャンプ」する。各区間においてこの境界は最良であることが示された。

ABSTRACT

A perfect Kr-tiling in a graph G is a collection of vertex-disjoint copies of Kr that together cover all the vertices in G. In this paper we consider perfect Kr-tilings in the setting of randomly perturbed graphs; a model introduced by Bohman, Frieze, and Martin [7] where one starts with a dense graph and then adds m random edges to it. Specifically, given any fixed 0 &lt; 𝛼 &lt; 1 − 1∕r we determine how many random edges one must add to an n-vertex graph G of minimum degree 𝛿(G) ≥ 𝛼n to ensure that, asymptotically almost surely, the resulting graph contains a perfect Kr-tiling. As one increases 𝛼 we demonstrate that the number of random edges required “jumps” at regular intervals, and within these intervals our result is best-possible. This work therefore closes the gap between the seminal work of Johansson, Kahn and Vu [25] (which resolves the purely random case, that is, 𝛼 = 0) and that of Hajnal and Szemerédi [18] (which demonstrates that for 𝛼 ≥ 1 − 1∕r the initial graph already houses the desired perfect Kr-tiling).

研究の動機と目的

• 0 < α < 1 − 1/r のとき、初期グラフの最小次数 δ(G) ≥ αn を満たすランダムに摂動されたグラフにおいて、完全な Kr-タイリングを保証するためのランダムエッジの正確な数を特定すること。
• 完全なクリークタイリングに関する極値的グラフ理論の結果（Hajnal–Szemerédi）と確率的グラフ理論の結果（Johansson–Kahn–Vu）の間の理論的ギャップを埋めること。
• α が増加するにつれてランダムエッジの閾値が定期的な間隔で「ジャンプ」することを示し、各区間内で境界が最良であることを示すこと。
• Balogh, Treglown, および Wagner が残した未解決問題、特に α > 1/r の場合のランダムに摂動されたモデルにおけるケースを解消すること。

提案手法

• G ∪ G(n,p) がほとんど確実に完全な H-タイリングを含むような最小の p(n) を形式化するため、摂動付き完全タイリング閾値 p(H, α) を導入する。
• 吸収、正則性、確率的グラフ技法の組み合わせを用いて、頑健なタイリング機構を構築する。
• 可変性と頂点カバーの問題に対処するため、柔軟な集合を用いたグリーディーな吸収プロセスを適用する。
• 最後の調整を可能にするために、ランダムエッジを用いて高い柔軟性を持つ吸収構造を構築する。
• チェルノフの不等式を用いて、頂点クラスのランダムに選択された部分集合のサイズおよび近傍性の性質を制御する。
• 吸収および頂点集合の大半のカバー後に残るグラフにタイリングを埋め込むために、補題 6.25 と定理 5.1 を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 0 < α < 1 − 1/r のとき、初期グラフの最小次数が αn であるランダムに摂動されたグラフにおいて、完全な Kr-タイリングを保証するためのランダムエッジの正確な閾値は何か？
• RQ2 α が増加するにつれてランダムエッジの閾値はどのように変化するか？また、定期的な間隔で「ジャンプ」する挙動を示すか？
• RQ3 各 α の区間において、この閾値は最良であるか？また、この閾値未満で完全な Kr-タイリングが不可能となるグラフの構造的性質は何か？
• RQ4 クリークに用いられた手法は、任意のグラフ H に一般化可能か？また、この閾値は H の構造にどのように依存するか？
• RQ5 α = 1 − k/r（2 ≤ k ≤ r−1）の正確な閾値は何か？また、既知の境界と比較するとどうなるか？

主な発見

• 任意の固定された 0 < α < 1 − 1/r に対して、G ∪ G(n,p) に完全な Kr-タイリングを保証するためのランダムエッジの閾値は p = Θ(n^{−2/k}) であり、k は α ≥ 1 − k/r を満たす最小の整数である。
• α が増加するにつれて閾値は定期的な間隔で「ジャンプ」し、各ジャンプは 2 ≤ k ≤ r−1 の範囲における新たな k 値に対応する。
• 境界は最良である：任意の α > 1 − k/r に対して、δ(G) ≥ αn を満たすグラフ G が存在し、p = o(n^{−2/k}) のとき G ∪ G(n,p) はほとんど確実に完全な Kr-タイリングを含まない。
• 本論文は α = 1 − k/r（2 ≤ k ≤ r−1）のケースを解消し、p(Kr, α) ∈ [n^{−2/k}, n^{−2/(k+1)}] を示した。さらに、下界を p(Kr, α) ≥ n^{−2/k}(log n)^{2/(k^2−k)} に精密化した。
• 本手法は、吸収構造、グリーディーなクリーク選択、正則性および確率的埋め込み技法による残差タイリングを組み合わせることで、完全な Kr-タイリングを成功裏に構築した。
• 解析により、線形最小次数から出発する場合、閾値は対数要因に依存しないことが示された。これは、純粋な確率的モデルとは対照的であり、決定的側面からの対数的節約が確認された。