[論文レビュー] Time Dependent PT-Symmetric Quantum Mechanics

Jiangbin Gong, Qinghai Wang|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2012

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics被引用数 25

ひとこと要約

本稿では、時間に依存するハミルトニアンと計量を扱えるように、時間に依存するPT対称量子力学（PTQM）に新たな公理を提案する。これにより、従来の量子力学への適切な写像が可能となり、PTQMのパrameter空間における閉路が通常の量子力学では開路に写像されることが明らかになった。また、ベリー位相が調整可能な仮想磁気モノポールからのフラックスとして解釈可能であり、従来の量子理論とは顕著な相違を示すことが示された。

ABSTRACT

The parity-time-reversal- ($\mathcal{PT}$) symmetric quantum mechanics (PTQM) has developed into a noteworthy area of research. However, to date most known studies of PTQM focused on the spectral properties of non-Hermitian Hamiltonian operators. In this work, we propose an axiom in PTQM in order to study general time-dependent problems in PTQM, e.g., those with a time-dependent $\mathcal{PT}$-symmetric Hamiltonian and with a time-dependent metric. We illuminate our proposal by examining a proper mapping from a time-dependent Schrodinger-like equation of motion for PTQM to the familiar time-dependent Schrodinger equation in conventional quantum mechanics. The rich structure of the proper mapping hints that time-dependent PTQM can be a fruitful extension of conventional quantum mechanics. Under our proposed framework, we further study in detail the Berry phase generation in a class of $\mathcal{PT}$-symmetric two-level systems. It is found that a closed path in the parameter space of PTQM is often associated with an open path in a properly mapped problem in conventional quantum mechanics. In one interesting case we further interpret the Berry phase as the flux of a continuously tunable fictitious magnetic monopole, thus highlighting the difference between PTQM and conventional quantum mechanics despite the existence of a proper mapping between them.

研究の動機と目的

• 静的系にとどまらないPT対称量子力学を、時間に依存するハミルトニアンと計量を含むように拡張すること。
• PTQMにおける時間発展演算の体系的フレームワークが不足しているにもかかわらず、その重要性が高まっている現状に対処すること。
• 解析的および物理的洞察を得るため、時間に依存するPTQMと従来の量子力学との間の適切な数学的写像を確立すること。
• 時間に依存するPT対称2準位系における幾何位相（特にベリー位相）を調査すること。
• 幾何的およびトポロジカル構造を通じて、PTQMと従来の量子力学との間の根本的な相違を明らかにすること。

提案手法

• 時間に依存するハミルトニアンと計量を一貫して記述できるように、PTQMにおける新たな公理を提唱する。
• PTQMにおける時間に依存するシュレーディンガー方程式に類似した方程式から、従来の量子力学における時間に依存するシュレーディンガー方程式への適切な写像を導出する。
• 写像を用いて、2準位系のクラスにおける幾何位相（ベリー位相）を分析する。
• パrameter空間の経路構造を分析し、PTQMにおける閉ループが、従来の枠組みでは開路に写像されることを示す。
• 仮想磁気モノポールモデルを導入し、ベリー位相を調整可能な強度のモノポールからのフラックスとして解釈する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間に依存するハミルトニアンと計量を同時に持つ場合、時間に依存するPT対称量子力学を一貫して定式化する方法は何か？
• RQ2 時間発展演算を伴うPT対称2準位系における幾何位相（ベリー位相）の性質は何か？
• RQ3 提案されたフレームワーク下で、PTQMにおけるパrameter空間の時間発展演算が、従来の量子力学におけるそれとどのように写像されるか？
• RQ4 PTQMにおけるベリー位相は、仮想磁気モノポールからのフラックスとして解釈可能か？ これは系のトポロジーに何を示唆するか？
• RQ5 適切な写像が存在するにもかかわらず、PTQMと従来の量子力学との間に生じる根本的な相違は何か？

主な発見

• 提案された公理により、時間に依存するハミルトニアンと計量を伴うPTQMにおける一貫した時間発展演算が可能となり、動的解析の基盤が築かれた。
• PTQMのパrameter空間における閉路は、通常の量子力学的問題では一般的に開路に写像される。
• PTQMにおけるベリー位相は、連続的に調整可能な仮想磁気モノポールからのフラックスとして解釈可能であり、新たな幾何的構造が明らかになった。
• PTQMと従来の量子力学との間の写像は動的を保存するが、特に経路の閉じ具合と位相の蓄積においてトポロジカルな相違を露呈する。
• 調整可能な仮想モノポールフラックスの存在は、同型な動的写像下でも、PTQMと標準的量子力学との間の主要な物理的相違を強調している。