[論文レビュー] To the nonlinear quantum mechanics

Miroslav Pardy|ArXiv.org|Nov 20, 2001

Quantum Mechanics and Applications参考文献 1被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、量子力学の流体模型から導かれた対数的非線形性 $-b(\ln|\Psi|^2)\Psi$ を有する非線形シュレーディンガー方程式を提案する。この非線形性により古典的極限が実現され、波動関数の収縮が説明可能となり、重ね合わせの破壊によってスレーディングァーの猫のパラドックスが解消される。同時にボーンの法則とプランクの関係 $E = \hbar\omega$ を保持する。主な結果は、$m \to \infty$ の極限において確率密度がデルタ関数に収束し、古典的粒子の運動を確認することである。

ABSTRACT

The Schroedinger equation with the nonlinear term is derived by the natural generalization of the hydrodynamical model of quantum mechanics. The nonlinear term appears to be logically necessary because it enables explanation of the classical limit of the wave function, the collaps of the wave function and solves the Schroedinger cat paradox.

研究の動機と目的

• 流体的量子力学の形式から非線形シュレーディンガー方程式を導出すること。これは古典的極限と波動関数の収縮を説明する必要性に由来する。
• 非線形項 $-b(\ln|\Psi|^2)\Psi$ が、流体的圧力項を加えることでエーラー方程式を完成させることによって自然に導かれることが示されること。
• 質量の極限 $m \to \infty$ において、確率密度がデルタ関数に収束することを示し、古典的粒子運動を確認すること。
• 重ね合わせ状態が非線形方程式の解でないことを示すことにより、スレーディングァーの猫のパラドックスを解消すること。これにより、マクロな重ね合わせ状態が回避される。
• 非線形性を導入してもボーンの法則とプランクの関係 $E = \hbar\omega$ を保持することにより、量子力学の基礎と整合性を保つこと。

提案手法

• シュレーディンガー方程式を流体的方程式に変換するために、マデルング変換 $\Psi = \sqrt{n} e^{iS/\hbar}$ を用いる。
• 連続の方程式と、量子ボームポテンシャル $V_q = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\Delta\sqrt{n}}{\sqrt{n}}$ を含む修正されたハミルトン・ジャコビ方程式を導出する。
• エーラー方程式に圧力項 $-\varrho^{-1} \nabla p$ を加えることで、新たな有効ポテンシャル $F$ を得る。
• 圧力項 $F$ を $\nabla F = \frac{1}{n} \nabla p$ と特定し、$F = -b \ln|\Psi|^2$ が一貫した非線形シュレーディンガー方程式を導くことを示す。
• 得られた非線形シュレーディンガー方程式を1次元で解き、$m \to \infty$ の極限において古典的デルタ関数局在を回復することを分析する。
• 非線形方程式がデ・ブロイの関係 $\lambda = h/p$ を保持することを検証し、正規化された平面波解およびソリトン解が存在することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形シュレーディンガー方程式の拡張から、量子力学の古典的極限をどのように導出できるか？
• RQ2 なぜ流体的量子力学の枠組みにおいて、対数的非線形性 $-b(\ln|\Psi|^2)\Psi$ が論理的・必然的に必要となるのか？
• RQ3 非線形シュレーディンガー方程式は、マクロに異なる状態の重ね合わせを禁止することで、測定問題とスレーディングァーの猫のパラドックスを解消できるか？
• RQ4 非線形方程式はボーンの法則やプランクの関係 $E = \hbar\omega$ といった基本的量子力学的仮説を保持するか？
• RQ5 非線形性パラメータ $b$ の実験的制約は何か？また、それらは粒子ソリトンの空間的幅にどのように制約を加えるか？

主な発見

• 非線形シュレーディンガー方程式に $-b(\ln|\Psi|^2)\Psi$ 項が、流体的エーラー方程式に圧力項を加えることによって自然に導かれる。これにより非線形性の論理的導出が可能となる。
• $m \to \infty$ の極限において、確率密度 $|\Psi|^2$ がデルタ関数に収束し、古典的粒子運動が確認される。
• 非線形方程式は、マクロに異なる状態の重ね合わせを禁止することでスレーディングァーの猫のパラドックスを解消する。これにより、猫は死んでいるか、生きており、その両方ではない。
• 方程式はボーンの法則とプランクの関係 $E = \hbar\omega$ を保持しており、線形領域においては従来の量子力学と整合性を保つ。
• パrameter $b$ は実験的に制約される：中性子干渉計測定から $b < 3 \times 10^{-15}$ eV が得られ、これは電子ソリトンの幅が 3 mm であることを示唆する。
• 正規化された平面波解 $\Psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2}\pi} e^{ikx - i\omega t}$ は、分散関係 $\hbar\omega = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} + b\ln(2\pi)$ を与え、$k=0$ または $\omega=0$ の非自明な解を許容する。