[論文レビュー] Tomography of one and two qubit states and factorisation of the Wigner distribution in prime power dimensions

Thomas Durt|ArXiv.org|Apr 17, 2006

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、素数べき次元における相互に偏りのない基底（MUBs）と離散ウィグナー分布を用いて、1量子ビットおよび2量子ビット系の量子状態トモグラフィーの最適化手法を提示する。2量子ビット状態のウィグナー分布が、次元が2のべきである場合にのみ局所的ウィグナー分布の積に因数分解可能であることを示し、偶数次元と奇数次元の素数べき次元における根本的な違いを明らかにした。この結果は、局所的トモグラフィーや情報的に完全な測定に関する知見をもたらす。

ABSTRACT

We study different techniques that allow us to gain complete knowledge about an unknown quantum state, e.g. to perform full tomography of this state. We focus on two apparently simple cases, full tomography of one and two qubit systems. We analyze and compare those techniques according to two figures of merit. Our first criterion is the minimisation of the redundancy of the data acquired during the tomographic process. In the case of two-qubits tomography, we also analyze this process from the point of view of factorisability, so to say we analyze the possibility to realise the tomographic process through local operations and classical communications between local observers. This brings us naturally to study the possibility to factorize the (discrete) Wigner distribution of a composite system into the product of local Wigner distributions. The discrete Heisenberg-Weyl group is an essential ingredient of our approach. Possible extensions of our results to higher dimensions are discussed in the last section and in the conclusions.

研究の動機と目的

• 1量子ビットおよび2量子ビット系の量子状態トモグラフィーにおけるデータの重複を最小限に抑えること。
• 複合量子系のウィグナー分布が、局所的ウィグナー分布の積に因数分解可能かどうかを調査すること。
• 局所的操作と古典的通信（LOCC）が、トモグラフィー的再構成に十分である条件を特定すること。
• 離散ヘイゼンベルク＝ワイル群と有限体が、情報的に完全な測定を可能にする役割を明らかにすること。
• PVMとPOVMに基づくトモグラフィーの効率を比較し、特にデータ最小化と因数分解可能性の観点から評価すること。

提案手法

• 有限次元ヒルベルト空間における位相点演算子とウィグナー関数の構成に、離散ヘイゼンベルク＝ワイル群を基盤的ツールとして用いる。
• 素数べき次元における相互に偏りのない基底（MUBs）を用いて、冗長性を最小限に抑えた情報的に完全なPOVMを実現する。
• 次元dが素数べきのとき、ガロア体に基づくウェイリーやウィグナー演算子の代数的構成を用いる。
• 合成次元（例：d = 15 = 3×5）における位相空間添字m_{a,b}の分解を用いて、ウィグナー分布の因数分解可能性を分析する。
• モジュロ算術と指数恒等式を用い、exp(i2πm_{a,b}n_{a,b}/d) が部分次元にわたる積に分解可能かどうかを検証する。
• 特に、体拡大を用いたルービンとピットゲンターの代数的手法と比較し、一貫性と適用範囲を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 素数べき次元における2量子ビット状態のウィグナー分布は、局所的ウィグナー分布の積に因数分解可能か？
• RQ2 次元が2のべき（d = 2^m、m > 1）である場合、ウィグナー分布の因数分解が可能か？
• RQ3 偶数次元と奇数次元の素数べき次元におけるウィグナー分布の因数分解性は、どのように異なるか？
• RQ4 局所的操作と古典的通信（LOCC）が、複合系のトモグラフィー的再構成にどの程度十分か？
• RQ5 有限体とガロア体算術が、ウィグナー関数の構成と因数分解に果たす役割は何か？

主な発見

• 2量子ビット状態のウィグナー分布は、d = 2^m（m = 1, 2, 3, ...）のとき、局所的ウィグナー分布の積に因数分解可能であるが、d = 8（m = 3）のときは不可能である。
• 奇数素数べき次元（d = p^m、pが奇数）では、ルービンとピットゲンターが示した体拡大を用いた因数分解が可能であるが、本研究ではこの結果が偶数次元に限定して確認されたにとどまる。
• d = 15 = 3×5 の場合、ウィグナー関数は exp(i2πm_{a,b}n_{a,b}/15) = exp(i2πm_a n_a /3) × exp(i2πm_b n_b /5) と因数分解可能であり、モジュロ因数分解が成立する。
• 素数べき次元d = p^mにおける離散ウィグナー関数は、ガロア体演算を用いて構成可能であり、その因数分解可能性はdの算術的構造に依存する。
• 本研究では、偶数次元と奇数次元の素数べき次元の間で明確な違いを示した：m > 1（例：d = 8）の偶数次元では因数分解が不可能であるが、奇数次元では体拡大技術により可能である。
• MUBsが素数べき次元でのみ存在することを確認し、その構造が有限体および射影幾何学と深く関係していることから、MUBsがd = 6やd = 10では存在しないという予想を支持する。