[論文レビュー] Topics in Ramsey Theory

Mano Vikash Janardhanan|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2014

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

この修士論文は、固定されたスコープ $m$ の半進等差数列に関連するラムゼー型数について、確率的技法を用いて指数的下界を確立する。$c > 1$ なるある $c$ に対して $SP_m(k) > c^k$ を示し、$c$ は $m$ と共に減少し、$m \to \infty$ のとき 1 に近づく。これは従来の二次下界を著しく改善する。

ABSTRACT

Ramsey theory is the study of conditions under which mathematical objects show order when partitioned. Ramsey theory on the integers concerns itself with partitions of $[1,n]$ into $r$ subsets and asks the question whether one (or more) of these $r$ subsets contains a $k$-term member of $\mathcal{F}$, where $[1,n]=\{1,2,3,\ldots,n\}$ and $\mathcal{F}$ is a certain family of subsets of $\mathbb{Z}^+$. When $\mathcal{F}$ is fixed to be the set of arithmetic progressions, the corresponding Ramsey-type numbers are called the van der Waerden numbers. I started the project choosing $\mathcal{F}$ to be the set of semi-progressions of scope $m$. A semi-progression of scope $m\in \mathbb{Z}^+$ is a set of integers $\{x_1,x_2,\ldots,x_k\}$ such that for some $d\in\mathbb{Z}^+$, $x_{i}-x_{i-1}\in\{d,2d,\ldots,md\}$ for all $i\in\{2,3,\ldots,k\}$. The exact values of Ramsey-type functions corresponding to semi-progressions are not known. We use $SP_m(k)$ to denote these numbers as a Ramsey-type function of $k$ for a fixed scope $m$. During this project, I used the probabilistic method to get an exponential lower bound for any fixed $m$. The first chapter starts with a brief introduction to Ramsey theory and then explains the problem considered. In the second chapter, I give the results obtained on semi-progressions. In the third chapter, I will discuss the lower bound obtained on $Q_1(k)$. When $\mathcal{F}$ is chosen to be quasi-progressions of diameter $n$, the corresponding Ramsey-type numbers obtained are denoted as $Q_n(k)$. The last chapter gives an exposition of advanced probabilistic techniques, in particular concentration inequalities and how to apply them.

研究の動機と目的

• 整数における固定スコープ $m$ の半進等差数列に関するラムゼー型数を調査すること。
• $SP_m(k)$ の既知の下界を改善すること。ここで $SP_m(k)$ は、$[1,N]$ の任意の $r$-彩色が $k$ 項のスコープ $m$ の単色半進等差数列を含むような最小の $N$ を表す。
• 確率的技法を用いて、従来のものより強い下界を導出すること。
• 直径が大きい準進等差数列に一般化する際の手法の限界を検討すること。
• 確率的組合せ論における高度な集中不等式の有用性を示すこと。

提案手法

• 確率的技法を用い、$[1,N]$ のランダムな2彩色における単色 $k$ 項半進等差数列の期待値を推定する。
• 開始点 $a$ と公差 $d$ を固定し、各彩色をジャンプ回数のタプルに写像することで、単色半進等差数列を含む彩色の数を数える。
• 多項係数と幾何級数を用いて、各 $(a,d)$ 組に対して彩色の数の上限を導出し、$|\gamma_{a,d}| \leq 2^N \left(\frac{2^m - 1}{2^m}\right)^{k-1}$ を得る。
• すべての可能な $a$ と $d$ について和をとることで、悪性彩色の総数の上限を導出：$S \leq \frac{N^2}{k} \cdot 2^N \left(\frac{2^m - 1}{2^m}\right)^{k-1}$。
• 単色 $k$ 項半進等差数列を含まない彩色の存在を保証するため、$S < 2^N$ の条件を課し、$N < k \left(\frac{2^m}{2^m - 1}\right)^{k-1}$ を得る。
• 指数的下界 $SP_m(k) > c^k$ を導出し、$c = \left(\frac{2^m}{2^m - 1}\right)^{1 - \frac{1}{k}}$ とし、$m \to \infty$ のとき 1 に近づくことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単色 $k$ 項半進等差数列（スコープ $m$）を含むような $[1,N]$ の任意の2彩色が存在する最小の $N$ を表すラムゼー型関数 $SP_m(k)$ の既知の最良下界は何か？
• RQ2 確率的技法を用いて、$SP_m(k)$ の既知の二次下界を改善できるか？
• RQ3 $SP_m(k)$ の指数的下界はスコープ $m$ にどのように依存するか？
• RQ4 同じ手法が直径 $n > 1$ の準進等差数列に対して指数的下界を導けないのはなぜか？
• RQ5 集中不等式のような高度な確率的道具は、このような下界を精緻化するためにどのように利用できるか？

主な発見

• 本稿は、$c > 1$ なるある $c$ に対して $SP_m(k) > c^k$ という指数的下界を確立し、従来の二次下界を著しく改善する。
• 指数の底 $c = \left(\frac{2^m}{2^m - 1}\right)^{1 - \frac{1}{k}}$ は $m$ に関して厳密に単調減少であり、$m \to \infty$ のとき 1 に近づく。
• スコープ $m = 2$ の場合、$N < k \left(\frac{4}{3}\right)^k$ を得る。これより $SP_2(k) > \left(\frac{3}{4}\right)^k \cdot k^{-1} \cdot 4^k$ が得られ、これは $k$ に関して指数的である。
• 直径 $n > 1$ の準進等差数列に対しては、同様の手法が指数的下界を導けず、$c < 1$ の $Q_n(k) > c^k$ のみが得られ、下界として役立たない。
• 解析により、確率的技法と多項係数の数え上げ、幾何級数の和の取り扱いが、ラムゼー型問題において強力であることが示された。
• 本研究は、組合せ的状況下での確率変数の集中を推定するための集中不等式の有用性を強調している。