[論文レビュー] Topics in special functions III

G. D. Anderson, Матти Вуоринен+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2012

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 136被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、擬等角写像理論および幾何函数論に現れる特殊関数の最近の進展を概説し、特に超幾何関数および三角関数の単調性と凸性の性質に焦点を当てる。l’Hôpitalの単調性定理を用いて鋭い不等式および凸性の結果を導出し、Jordanの不等式の一般化形および超幾何平均の新たな境界を含む。

ABSTRACT

The authors survey recent results in special functions of classical analysis and geometric function theory, in particular the circular and hyperbolic functions, the gamma function, the elliptic integrals, the Gaussian hypergeometric function, power series, and mean values.

研究の動機と目的

• 擬等角写像理論における未解決問題に由来する特殊関数に関する結果をレビューおよび拡張すること、特にAnderson, Vamanamurthy, および Vuorinen (1993, 1996) が提示した問題を対象とする。
• l’Hôpitalの単調性定理を用いて、三角関数、双曲線関数、および超幾何関数の鋭い不等式を導出すること。
• ゼロバランスのガウス超幾何関数の $ M_{\lambda,\mu} $-凸性を調査し、既知の平均不等式を一般化すること。
• 古典的な三角不等式を一般化した $ (p,q) $-三角関数に拡張する新しい研究方向を提案すること。
• 著者らとの共同研究を開始した故 M. K. Vamanamurthy を記念し、その業績を体系的に整理し発展させること。

提案手法

• 関数比 $ f/g $ の単調性を分析するため、$ f'/g' $ の単調性に基づく l’Hôpitalの単調性定理 (LMR) を用いる。
• LMR を適用して、$ \frac{\sin x}{x} $、$ \frac{\sinh x}{x} $ および関連関数の鋭い境界を、べき平均および再帰的係数定義を用いて導出する。
• 再帰的係数系を用いて、$ \frac{\sin x}{x} - \frac{\sin \theta}{\theta} $ の最良の多項式および級数展開を $ (\theta^t - x^t)^k $ の形に構成する。
• 有限級数 $ (\pi^2 - 4x^2)^k $、$ (r^2 - x^2)^k $、$ (\theta^t - x^t)^k $ を用いた、Jordanの不等式の古典的不等式の一般化を行う。
• 超幾何関数 $ F(a,b;a+b;r) $ の $ M_{\lambda,\mu} $-凸性を分析し、$ \lambda \in (-\infty,1] $、$ \mu \in [0,\infty) $ における凸性のための条件を確立する。
• 平均不等式をグロッツシュ環関数 $ \mu $ やHersch-Pfluger歪み関数 $ \varphi_K $ に拡張し、$ M_\lambda(\mu(s),\mu(t)) < \mu(M_\lambda(s,t)) $ が成り立つのは $ \lambda \leq 0 $ の場合に限ることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 区間 $ (0, \pi/2) $ における不等式 $ \cos^{4/3}(x/2) < \frac{\sin x}{x} < \cos^a(x/2) $ の最良の定数は何か、そしてそれらはどのように導出されるか？
• RQ2 グロッツシュ関数 $ \mu $ に対して不等式 $ M_\lambda(\mu(s),\mu(t)) < \mu(M_\lambda(s,t)) $ が成り立つ条件は何か、また $ \lambda $ に依存する仕組みは？
• RQ3 パラメータ $ \lambda, \mu $ がどのような値のとき、ゼロバランスの超幾何関数 $ F(a,b;a+b;r) $ は $ (0,1) $ で $ M_{\lambda,\mu} $-凸性を示すか？
• RQ4 Takashiが導入した $ (p,q) $-三角関数に、古典的な三角関数の単調性および凸性の性質を一般化できるか？
• RQ5 $ \frac{\sin x}{x} $ の $ (\pi^2 - 4x^2)^k $ を用いた有限級数による鋭い境界は何か、そして係数 $ \alpha_k, \beta_k $ はどのように決定されるか？

主な発見

• 区間 $ (0, \pi/2) $ において不等式 $ \cos^{4/3}(x/2) < \frac{\sin x}{x} < \cos^a(x/2) $ が成り立ち、$ a \approx 1.30299 $ であり、両端の定数は最良である。
• $ x \in (0,1) $ に対して、鋭い不等式 $ \cosh^{1/3}x < \frac{\sinh x}{x} < \cosh^b x $ が成り立ち、$ b \approx 0.372168 $ であり、両方の指数は最適である。
• $ t \geq 2 $、$ 0 < x \leq \theta < \pi $ に対して、不等式 $ \sum_{k=1}^n \mu_k(\theta^t - x^t)^k \leq \frac{\sin x}{x} - \frac{\sin \theta}{\theta} \leq \sum_{k=1}^n \omega_k(\theta^t - x^t)^k $ が成り立ち、再帰的に定義された最良の定数を有する。
• 関数 $ \frac{\sin x}{x} $ は、$ 0 < |x| \leq r \leq \pi/2 $ に対して無限級数展開 $ \sum_{n=0}^\infty a_n(r^2 - x^2)^n $ を持つ。これは正則な偶関数に対して有効である。
• ゼロバランスの超幾何関数 $ F(a,b;a+b;r) $ は、すべての $ a,b > 0 $、$ \lambda \leq 1 $、$ \mu \geq 0 $ に対して $ (0,1) $ で $ M_{\lambda,\mu} $-凸性を示す。これは Zhang, Wang, および Chu によって確立された。
• 不等式 $ M_\lambda(\mu(s),\mu(t)) < \mu(M_\lambda(s,t)) $ が成り立つのは $ \lambda \leq 0 $ の場合に限る。同様に、$ M_\lambda(\varphi_K(s),\varphi_K(t)) < \varphi_K(M_\lambda(s,t)) $ が成り立つのは $ \lambda \geq 0 $ かつ $ K > 1 $ の場合に限る。