[論文レビュー] Topological boundary maps in physics: General theory and applications

Johannes Kellendonk, Serge Richard|ArXiv.org|May 16, 2006

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 25被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、C*-代数とK理論を用いて、量子物理学における位相的境界写像の一般枠組みを構築し、体積と境界の位相的不変量の関係を確立する。この理論は固体系および散乱理論に適用され、Connesのペアリングとねじれ交叉積C*-代数上のn-トレースを用いて、Levinsonの定理の位相的版本が導かれる。

ABSTRACT

The material presented here covers two talks given by the authors at the conference Operator Algebras and Mathematical Physics organised in Bucharest in August 2005. The first one was a review given by J. Kellendonk on the relation between bulk and boundary topological invariants in physical systems. In the second talk S. Richard described an application of these ideas to scattering theory. It leads to a topological version of the so-called Levinson's theorem.

研究の動機と目的

• 非可換位相幾何学を用いて、量子系における位相的境界写像の一般理論を確立すること。
• K理論およびC*-代数上のn-トレース汎関数を用いて、体積と境界の位相的不変量を結びつけること。
• 特に磁性系において、この枠組みを固体物理学およびポテンシャル散乱に適用すること。
• K理論およびねじれ交叉積C*-代数を用いて、Levinsonの定理の位相的版本を導出すること。
• 量子輸送および散乱における位相的不変量の厳密な数学的基盤を提供すること。

提案手法

• 物理的可観測量の代数的枠組みとして、特に磁場を有する系に対してねじれ交叉積を重点的に用いる、分離可能なC*-代数を用いる。
• K理論（K₀およびK₁群）を用いて、射影およびユニタリ行列のホモトピー類を通じて、量子系の位相的不変量を分類する。
• トレースおよび可換な微分作用素を用いてn-トレースを導入し、Connesのペアリングを介してK群上の加法的汎関数を定義する。
• 特に磁場フラックスに依存する自己同型を用いて、C*-代数上のR作用の連続的作用を介して、位相的境界写像を構成する。
• 交叉積代数と反復交叉積との間の同型を確立し、複雑な代数の分解を可能にする。
• 磁場を有する系にこの形式的枠組みを適用する際、磁場2-コサイクルおよびフラックス依存自己同型を用いて境界写像を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 C*-代数的道具を用いて、量子系の体積における位相的不変量と境界におけるそれらをどのように関係付けることができるか。
• RQ2 n-トレースおよびConnesのペアリングは、C*-代数のK群上における位相的不変量を定義する上で果たす役割は何か。
• RQ3 ねじれ交叉積C*-代数の理論は、磁場を有する固体系における位相的不変量を記述するためにどのように用いられるか。
• RQ4 K理論および散乱理論における境界写像を用いて、Levinsonの定理の位相的バージョンを導出できるか。
• RQ5 磁場を伴うねじれ交叉積C*-代数が反復交叉積に分解できることの意義は何か。

主な発見

• 本稿は、C*-代数のK群が量子系の位相的不変量として機能することを確立し、その要素が体積および境界の位相的電荷を表すことを示した。
• Connesのペアリングとn-トレースを用いることで、K₀およびK₁群上の加法的汎関数が得られ、輸送係数などの位相的不変量を計算するメカニズムが提供された。
• Levinsonの定理の位相的バージョンが導出され、散乱理論における束縛状態の数が、体積における位相的不変量と結びつけられた。
• 著者らは、磁場を伴うねじれ交叉積C*-代数が反復ねじれ交叉積として分解可能であることを証明した。これは独立した数学的意義を有する結果である。
• 境界写像の構成は、代数上の連続的R作用を介して厳密に定義され、磁場フラックスおよび自己同型を含む明示的式が得られた。
• この枠組みにより、系の有界（体積）部分と散乱（境界）部分の不変量が、位相的K理論を通じて関係づけられた。