[論文レビュー] Topological Corner States on Kagome Lattice Based Chiral Higher-Order Topological Insulator

Yichen Xu, Ruolan Xue+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2017

Topological Materials and Phenomena被引用数 24

ひとこと要約

本論文は、息を吐くカゴーブ格子上にねじれのある高次位相的絶縁体（HOTI）を提案し、角部状態が角の幾何学に依存して条件的になく、正方形格子のHOTIとは異なることを示している。『ポンピングシリンダー』上でのウィルソンループ形式を用いて、対称性／ギャップレス性の対応関係を確立し、格子の点群対称性に関連するZ₃分類が得られ、Γ₁、Γ₂、Γ₃という異なる角タイプに対して、それぞれ異なる位相的応答が示された。

ABSTRACT

The higher-order topological insulator (HOTI) protected by spacial symmetry has been studied in-depth on models with square lattice. Our work, based on an alternative model on the breathing Kagome lattice, revealed that the different types of corners in the lattice could actually be conditionally gapless, or always gapped. Using the Wilson loop formalism, we argue that these corner states occur when the eigenvalues of the Wannier Hamiltonian cross through a certain reference point during the conceptual "pumping" procedure. The results demonstrate the corner of the Kagome lattice based HOTI is a zero-dimensional analogue of the 1D chiral edge states on the boundary of a Chern insulator, but with a sensitive dependence on the shape of the corner. Our method of the pumping cylinder, which reveals the symmetry/gapless-ability correspondence, can be generalized into a general scheme in determining the classification of corner(hinge) states in HOTI.

研究の動機と目的

• ねじれのある高次位相的絶縁体（HOTI）が、単一の角幾何形状ではなく、3つの非同値な角タイプを持つ呼吸カゴーブ格子上にどのように作用するかを調査すること。
• リボン幾何形状において、バルク極化がギャップレスヘッジ状態を示す一方で、数値的対角化ではギャップを持つエッジが得られるというパラドックスを解消するため、対称性に基づく分類スキームを導入すること。
• 点群対称性（特にC₃およびC₄T対称性）の下で、ウィルソンループ形式を用いて、角部状態およびヘッジ状態の一般化された分類枠組みを確立すること。
• 角部状態のギャップレス性が普遍的ではなく、角の二面角および対称性の性質に強く依存することを示し、正方形格子モデルからの従来の仮定に挑戦すること。
• ポンピングシリンダー構成を、任意の点群対称性を持つ2次元格子に一般化し、高次位相的トポロジーのための統一的枠組みを提供すること。

提案手法

• C₃対称性を破る調整可能な hopping（t₁, t₂）を有する呼吸カゴーブ格子上にねじれHOTIモデルを構築し、異なる角タイプ（Γ₁, Γ₂, Γ₃）を可能にする。
• 平行四辺形、六角形、リボン幾何形状における数値的対角化を実施し、形状依存の角部状態の挙動（条件的ギャップレスまたは常にギャップを持つ）を明らかにする。
• 『ポンピングシリンダー』構成を導入し、これは、断続的変形下でのWannierハミルトニアン固有値の進化を追跡するトポロジカルプローブであり、サウスループポンプを模倣する。
• ウィルソンループ形式を適用し、シリンダー周囲でのWannier状態固有値の進化を計算し、非自明なトポロジーを示す交差を特定する。
• 群論的解析（C₃およびC₆対称性操作）を用いて、異なるポンピング軌道を分類し、固有値の巻き数（mod 3）がトポロジー分類を決定することを示す。
• 物理的角幾何形状とトポロジカル不変量との間の対応関係を確立し、対称性操作（例：C₃ᴬ, C₃ᴮ）がシリンダー上での巻き数クラス（I, S₁, S₂）に対応することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カゴーブ格子を基盤とするHOTIにおける位相的角部状態は、バルク位相の単なる関数ではなく、角の幾何形状（例：Γ₁, Γ₂, Γ₃）にどのように依存するか？
• RQ2 モデルにおけるリボン幾何形状では、バルク極化がギャップレスヘッジ状態を示すが、数値的対角化ではギャップを持つエッジが得られる。その理由は何か？
• RQ3 ウィルソンループ形式は、リボン幾何形状におけるこの表面的パラドックスを、隠れた位相的不変量を明らかにすることで解消できるか？
• RQ4 点群対称性（例：C₃, C₆）は、角部状態がギャップレスかギャップを持つかを決定する上で果たす役割は何か？
• RQ5 ポンピングシリンダー構成は、高次位相的絶縁体における角部状態およびヘッジ状態のための普遍的分類スキームに一般化可能か？

主な発見

• カゴーブ格子HOTIは、3つの非同値な角タイプ（Γ₁, Γ₂, Γ₃）を有し、それぞれが異なる位相的応答を示す：一部の角はモデルパラメータに依存して条件的ギャップレスであり、他の角は常にギャップを持つ。
• ギャップレスΓ₁角を持つ相（−t₂ < t₁ < t₂/2）では、角部状態はS₁Xポンピング軌道に対応し、Γ₂角はXに対応し、Γ₃角はS₂に対応する。これにより、Z₃分類が確立された。
• ウィルソンループ形式により、ポンピングシリンダー周囲でのWannierハミルトニアン固有値の進化が、角部状態のトポロジー的性質を決定することが明らかになった。巻き数（mod 3）が分類を定義する。
• リボン幾何形状における表面的パラドックス（バルク極化がギャップレスヘッジ状態を示すが、数値的対角化ではギャップを持つエッジが得られる）は、ウィルソンループ解析により解消された。この解析により、ヘッジ状態が対称性破壊変形に対して安定でないことが示された。
• ポンピングシリンダー構成は、一般化された分類スキームを提供する：異なる対称性操作（例：C₃ᴬ, C₃ᴮ）は、異なる巻き数クラス（I, S₁, S₂）に対応し、同じ対称性でも角タイプに応じて異なるクラスに表現可能である。
• 自明なギャップを持つ相（t₁ + t₂ < 0）では、すべてのπ/6角が自明クラスXに対応し、すべてのC₃操作が恒等元Iに対応する。これにより、バルクがZ₃分類であるが、角部状態は1つの角タイプあたり2重分類を持つことが確認された。