[論文レビュー] Topological Defects and Flows in BECs and Active Matter

Jonas Rønning|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

Micro and Nano Robotics参考文献 40被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、活性ネマチック膜内の孤立した±1/2トポロジカルな欠陥回りの活性流れに関する包括的な流体力学的理論を提示する。粘性散逸（η）と基板摩擦（Γ）の両方を考慮し、+1/2欠陥の自己駆動速度が系のサイズ R と流体力学的散逸長さ ℓd = √(η/Γ) の関数として導出されている。R < ℓd のとき速度は R に比例して増加し、R ≫ ℓd のとき定常値に飽和する。これは、ドライとウェットな活性物質の領域の間のギャップを埋めるものである。

ABSTRACT

We study the nucleation and dynamics of topological defects in two-dimensional superfluid Bose-Einstein condensates and active liquid crystals. Using the property that these are emergent states of matter with broken rotational symmetry, we formulate a generic mathematical framework that we use to describe the properties of the corresponding topological defects. The active liquid crystals consist of micro-organisms that have an intrinsic activity which is injecting energy into the system. When the intrinsic energy production is large enough, it will result in the spontaneous creation of topological defects. These defects are localized sources of long-range elastic distortions which generate large-scale flows. We are able to solve the flow equations for isolated defects in the limit of point-like defects with an idealized far-field structure that is subject to both friction and viscous dissipation. The induced flow feeds back into the evolution equation for the order parameter of the liquid crystal and has effects on the motion of the defects by making them self-propelled and by mediating effective interactions between them. In contrast, the Bose-Einstein condensate is a passive system where energy is injected by externally applied potentials. One way to create defects is by stirring the condensate with a moving potential. Quantum vortices are then nucleated in pairs and shed from the stirring potential. We show how the defect nucleation and motion are determined by the evolution of the superfluid wave function. In this thesis, we demonstrate that even though the energy is injected and transported differently in these two systems, there are similarities in the fundamental mechanisms for the nucleation of topological defects and in the correspondence between defect kinematics and the evolution of the order parameter.

研究の動機と目的

• 粘性散逸と基板摩擦が、活性ネマチック膜内のトポロジカル欠陥回りの活性流れにどのように統合的に寄与するかを理解すること。
• 活性欠陥力学における過減衰（ドライ）と流体力学的（ウェット）な極限の間のギャップを解消すること。
• 系のサイズ R と流体力学的散逸長さ ℓd = √(η/Γ) の関数として、+1/2欠陥の自己駆動速度を導出すること。
• 剪切渦度成分と圧力駆動成分を含む、孤立欠陥回りの活性流れを統一的に記述する理論的枠組みを提供すること。

提案手法

• 活性応力 σa_ij = α0Qij を持つ流体力学モデルと非圧縮性ナビエ-ストークス方程式を用いて、孤立した±1/2欠陥回りの活性流れ場を導出する。
• 極座標系における線形化流体力学方程式をベッセル関数と修正ベッセル関数（K0）を用いて解き、流れの減衰を記述する。
• 流体力学的散逸長さ ℓd = √(η/Γ) を導入し、回転速度および流れ場の空間的減衰を制御するスクリーニング長としての役割を明示する。
• 複素平面における輪環型積分を用いて活性流れ速度を評価し、特異積分の評価にキーホール型コントゥアと留数定理を適用する。
• ポッヒハマー記号と超幾何関数を用いて流れ積分のモーメントを表現・簡略化する。
• 勾配降下法と漸近展開を用いて、自己駆動速度の長距離および短距離における挙動を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 粘性散逸と摩擦減衰の相互作用が、活性ネマチックス内の孤立欠陥回りの流れ構造にどのように影響を与えるか。
• RQ2 +1/2欠陥の自己駆動速度が系のサイズ R と流体力学的散逸長さ ℓd にどのように依存するか。
• RQ3 流れ場は空間的にどのように減衰するのか。ℓd は長距離流体力学的流れのスクリーニングにどのような役割を果たすか。
• RQ4 +1/2欠陥は自己駆動するが、−1/2欠陥は静止する。これは活性応力の対称性にどのように依存するか。
• RQ5 過減衰（ドライ）と流体力学的（ウェット）極限を補間できる統一理論を構築できるか。

主な発見

• +1/2欠陥の自己駆動速度は、R < ℓd のとき系のサイズ R に比例して増加し、小系における運動能のサイズ依存的増幅を示している。
• R ≫ ℓd の極限において、自己駆動速度は流体力学的散逸長さ ℓd のみに依存する定数値に飽和する。
• 孤立欠陥回りの回転速度場は、ℓd より大きなスケールで指数関数的に減衰し、ℓd が活性流れのスクリーニング長として機能することを示している。
• +1/2欠陥の流れ場はコメット型の構造を示し、コア部に有限の速度を持つが、−1/2欠陥は三重対称性のためコア部で流れが消えるバックフラウを生成する。
• 理論は過減衰（ドライ）と流体力学的（ウェット）極限をうまく接続しており、ドライ領域では |va_+| ∼ |α0|/Γ、ウェット領域では |va_+| ∼ |α0|/η の速度スケーリングを示している。
• 活性流れ場の解析的解は修正ベッセル関数と超幾何級数で表現されており、異なる実験的状態における欠陥運動の定量的予測を可能としている。