[論文レビュー] Topological Entropy and Algebraic Entropy for group endomorphisms

Dikran Dikranjan, Anna Giordano Bruno|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2013

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 46被引用数 27

ひとこと要約

本稿は、局所コンパクト群の自己準同型における位相的・代数的エントロピーの包括的サーベイと拡張を提示し、新規の集合論的エントロピーとeスペクトルを導入し、Lehmerの問題および幾何学的群論への接続を確立する。カテゴリー論的枠組みを用いてエントロピー概念を統一し、代数的エントロピーが遺伝的ねじれ理論を誘導することを証明するとともに、直和極限における連続性からなる共変（代数的）および逆極限における連続性からなる反変（位相的）エントロピー関数を区別する。

ABSTRACT

The notion of entropy appears in many fields and this paper is a survey about entropies in several branches of Mathematics. We are mainly concerned with the topological and the algebraic entropy in the context of continuous endomorphisms of locally compact groups, paying special attention to the case of compact and discrete groups respectively. The basic properties of these entropies, as well as many examples, are recalled. Also new entropy functions are proposed, as well as generalizations of several known definitions and results. Furthermore we give some connections with other topics in Mathematics as Mahler measure and Lehmer Problem from Number Theory, and the growth rate of groups and Milnor Problem from Geometric Group Theory. Most of the results are covered by complete proofs or references to appropriate sources.

研究の動機と目的

• 局所コンパクト群の自己準同型における位相的および代数的エントロピー理論の統一と拡張。
• 共変および反変の集合論的エントロピー関数の新規導入とその研究。
• アーベル群のeスペクトルを通じてエントロピー、Mahler測度、Lehmerの問題との接続を確立。
• アーベルおよび半アーベル圏におけるエントロピー関数の一般化。直和極限および逆極限における連続性に基づき、共変および反変タイプを区別。
• 代数的エントロピーが遺伝的ねじれ理論を誘導することを示し、二値エントロピー関数とその理論との間の双対的対応を示すこと。

提案手法

• 自己写像の集合上で共変および反変の集合論的エントロピーを定義し、位相的および代数的エントロピーの計算ツールとして用いる。
• ポントリャーギン双対性を用いて、コンパクト群上の位相的エントロピーと離散群上の代数的エントロピーを関連付ける。
• 群のeスペクトルを、自己準同型によるエントロピーの取りうる値の集合として定義し、Mahler測度を介してLehmerの問題と結びつける。
• 代数的エントロピーの直和極限における連続性と、位相的エントロピーの逆極限における連続性を確立し、共変および反変エントロピー関数の区別を正当化する。
• アーベルおよび半アーベル圏におけるエントロピー関数を定式化し、代数的エントロピーが遺伝的ラディカルおよび遺伝的ねじれ理論を誘導することを証明する。
• この枠組みをベルヌーイシフトに適用し、左シフト／右シフトが、それぞれ離散的・コンパクトな圏に応じてエントロピー値 0 または log|K| を与えることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 新規の集合論的エントロピー関数は、群自己準同型における位相的および代数的エントロピーとどのように関係するか？
• RQ2 eスペクトルは、Lehmerの問題のような数論的問題へのエントロピーの接続において、果たす役割は何か？
• RQ3 直和極限および逆極限におけるエントロピー関数の連続性特性は、代数的エントロピーと位相的エントロピーをどのように区別するか？
• RQ4 アーベル圏におけるエントロピー関数は、それらが生成する遺伝的ねじれ理論によって分類可能か？
• RQ5 二値エントロピー関数が圏におけるエントロピーの完全構造を捉える上で、その意義は何か？

主な発見

• 離散群上の左ベルヌーイシフトの代数的エントロピーは 0 であり、右ベルヌーイシフトは log|K| である。これは離散的状況における双対性を反映している。
• コンパクト群上の左ベルヌーイシフトの位相的エントロピーは log|K| であり、右シフトは 0 である。これは位相的エントロピーの反変的性質を示している。
• アーベル群のeスペクトルは、その自己準同型の取りうるすべてのエントロピー値を捉え、Mahler測度およびLehmerの問題と深く結びついている。
• 代数的エントロピーはアーベル群の圏上で遺伝的ラディカルを誘導し、それに対応するねじれ理論はエントロピー関数によって完全に決定される。
• 二値エントロピー関数と遺伝的ねじれ理論の間には、双対的かつ順序を保つ一対一対応が存在し、二値関数には冗長な情報が含まれないことが示された。
• 位相的エントロピーはコンパクト群の圏において逆極限に関して連続であり、代数的エントロピーは離散群の圏において直和極限に関して連続である。これにより、共変／反変の区別が正当化される。