[論文レビュー] Topological entropy and complexity for discrete dynamical systems

N. Abarenkova, J C Anglès d'Auriac+3 more|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 1998

Graph theory and applications被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、2次元有理離散力学系の2パラメータ族を調査し、位相的エントロピーとアーノルド複雑度の関係を検討する。固定点の生成関数と反復度の生成関数を用いて、複雑度成長と指数的位相的エントロピーの両方の代数的値をもたらす有理式の予想を提示する。これらはすべてのパラメータ値で等しくなることが判明し、半数値的手法によって裏付けられており、積分可能なケースの特定にも成功している。

ABSTRACT

To test a possible relation between the topological entropy and the Arnold complexity, and to provide a non trivial example of a rational dynamical zeta function, we introduce a two-parameter family of two-dimensional discrete rational mappings. The generating functions of the number of fixed points, and of the degree of the successive iterates, are both considered. We conjecture rational expressions with integer coefficients for these two generating functions. and a rational expression for the dynamical zeta function. We then deduce algebraic values for the complexity growth and for the exponential of the topological entropy. Moreover, these two numbers happen to be equal for all the values of the parameters. These conjectures are supported by a semi-numerical method we explain. This method also localizes the integrable cases.

研究の動機と目的

• 離散力学系における位相的エントロピーとアーノルド複雑度の間の予想される関係を検証すること。
• 非自明な有理力学的ゼータ関数の例を提示すること。
• 2次元有理写像の2パラメータ族における固定点および反復度の生成関数を調査すること。
• 複雑度成長率と指数的位相的エントロピーがすべてのパラメータ値で等しいかどうかを特定すること。
• 半数値的手法を用いて積分可能なケースを同定すること。

提案手法

• 2次元離散有理写像の2パラメータ族を導入すること。
• 固定点の数および連続的反復の次数の生成関数を定義すること。
• これらの生成関数に対して整数係数の有理式を予想すること。
• 生成関数から力学的ゼータ関数を有理式として導出すること。
• 半数値的手法を用いて予想を検証し、積分可能なパラメータ領域を特定すること。
• 予想される式から複雑度成長率および指数的位相的エントロピーの代数的値を計算すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 このクラスの離散力学系において、位相的エントロピーとアーノルド複雑度の間に一貫した関係が存在するか？
• RQ2 固定点および反復度の生成関数は、整数係数の有理関数として表現可能か？
• RQ3 2パラメータ族のすべてのパラメータ値において、複雑度成長率と指数的位相的エントロピーは一致するか？
• RQ4 系が積分可能となる条件は何か、そしてそれらはどのように特定できるか？
• RQ5 この設定において、力学的ゼータ関数は有理関数として表現可能か？

主な発見

• 固定点の数および反復度の生成関数は、整数係数の有理関数であると予想される。
• 複雑度成長率と位相的エントロピーの指数は代数的数であり、すべてのパラメータ値で等しい。
• 力学的ゼータ関数は有理関数であると予想され、この文脈における非自明な例を提供する。
• 半数値的手法により予想が裏付けられ、積分可能なケースに対応する領域が明確に特定された。
• 複雑度成長と指数的位相的エントロピーの等価性は、2パラメータ空間全体にわたり成立しており、深い構造的関係を示唆する。