[論文レビュー] Topological Free Entropy Dimensions in Nuclear C$^*$-algebras and in Full Free Products of C$^*$-algebras

Don Hadwin, Qihui Li+1 more|ArXiv.org|Feb 3, 2008

Random Matrices and Applications参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、C*-代数の不変量としての位相的軌道次元を導入し、ヴォイクリューツァの位相的自由エントロピー次元を分析する。核型C*-代数では、この次元が1以下であることを証明し、単位的C*-代数の完全自由積（近似性を持つもの）では加法的であることを示す。主な結果として、$\mathrm{Ext}(C_r^*(F_2)*_{\mathbb{C}}C_r^*(F_2))$ が群でないことが示され、MF代数とExt群に関する先行研究を拡張する。

ABSTRACT

In the paper, we introduce a new concept of topological orbit dimension of $n$-tuples of elements in a unital C$^*$ algebra. Using this concept, we conclude that the Voiculescu's topological free entropy dimension of any family of self-adjoint generators of a nuclear C$^*$ algebra is less than or equal to 1. We also show that the topological free entropy dimension is additive in the full free products of unital C$^*$ algebras. In the appendix, we show that unital full free product of Blackadar and Kirchberg's unital MF algebras is also MF algebra.

研究の動機と目的

• C*-代数におけるヴォイクリューツァの位相的自由エントロピー次元を研究するため、新たな不変量である位相的軌道次元を考案すること。
• 新しい不変量を用いて、核型C*-代数における位相的自由エントロピー次元の上限を確立すること。
• 近似性を持つ単位的完全自由積のC*-代数において、位相的自由エントロピー次元の加法性を証明すること。
• MF代数に関する結果を拡張し、$\mathrm{Ext}(C_r^*(F_2)*_{\mathbb{C}}C_r^*(F_2))$ が群でないことを示すこと。

提案手法

• 以前の概念の修正として、位相的軌道次元 $\mathfrak{K}_{\text{top}}^{(2)}$ を導入し、自己随伴生成子に対してC*-代数不変量であることを証明する。
• 不等式 $\delta_{\text{top}}(z_1,\ldots,z_m) \leq \max\{\mathfrak{K}_{\text{top}}^{(2)}(z_1,\ldots,z_m), 1\}$ を確立し、ヴォイクリューツァの位相的自由エントロピー次元と関連付ける。
• 直交和に関して $\mathfrak{K}_{\text{top}}^{(2)}$ が劣加法的であり、行列代数とのテンソル積に関して非増加であることを証明する。
• $\mathfrak{K}_{\text{top}}^{(2)} \leq \mathfrak{KK}^{(2)}$（軌道次元容量）を示し、核型代数における計算を可能にする。
• 近似性とMF代数の構造を用いて、完全自由積における位相的自由エントロピー次元の加法性を証明する。
• 結果を応用し、$C_r^*(F_2)$ の非擬対角性を用いて、$\mathrm{Ext}(C_r^*(F_2)*_{\mathbb{C}}C_r^*(F_2))$ が群でないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 核型C*-代数における自己随伴生成子の有限族に対するヴォイクリューツァの位相的自由エントロピー次元の値は何か？
• RQ2 近似性を持つ単位的C*-代数の完全自由積において、位相的自由エントロピー次元は加法的か？
• RQ3 MF代数の単位的完全自由積は、再びMF代数であるか？
• RQ4 位相的自由エントロピー次元を用いて、$\mathrm{Ext}(C_r^*(F_2)*_{\mathbb{C}}C_r^*(F_2))$ が群でないことを示せるか？
• RQ5 位相的軌道次元は軌道次元容量とどのように関係し、エントロピー次元にどのような含意をもたらすか？

主な発見

• 任意の単位的核型C*-代数における自己随伴生成子の有限族の位相的自由エントロピー次元は、1以下である。
• 自己随伴生成子に対して、位相的軌道次元 $\mathfrak{K}_{\text{top}}^{(2)}$ はC*-代数不変量である。
• 近似性を持つC*-代数の単位的完全自由積において、位相的自由エントロピー次元は加法的である。
• ブラックダーやキルヒベルクの単位的MF代数の完全自由積は、再びMF代数である。
• 核型C*-代数における自己随伴生成子の位相的自由エントロピー次元は、代数が近似性を持つ場合に0である。
• その結果、$\mathrm{Ext}(C_r^*(F_2)*_{\mathbb{C}}C_r^*(F_2))$ は群でないことが示され、ハーガープとトールビョーンセン、ブラウンの先行結果を拡張する。