[论文解读] Topological Hochschild homology and integral $p$-adic Hodge theory

Bhargav Bhatt, Matthew Morrow+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 32被引用 31

一句话总结

本文在混合特征和特征 $p$ 相等的情形下引入了拓扑霍赫希尔德同调（THH）的过滤，类似于代数 K-理论上的动机过滤。通过向半完美oid环的平坦下降，该过滤将过滤的分次项与混合特征下的 $A\widetilde{\bigwedge\bigwedge\bigwedge}$-复形以及特征 $p$ 相等情形下的晶体上同调联系起来，从而实现了布雷乌尔–基辛模和 syntomic 层 $\mathbb{Z}_p(n)$ 的上同调构造，改进了 $A_{\inf}$-上同调理论，并统一了 $p$-进霍赫希尔德理论的框架。

ABSTRACT

In mixed characteristic and in equal characteristic $p$ we define a filtration on topological Hochschild homology and its variants. This filtration is an analogue of the filtration of algebraic $K$-theory by motivic cohomology. Its graded pieces are related in mixed characteristic to the complex $AΩ$ constructed in our previous work, and in equal characteristic $p$ to crystalline cohomology. Our construction of the filtration on $\mathrm{THH}$ is via flat descent to semiperfectoid rings. As one application, we refine the construction of the $AΩ$-complex by giving a cohomological construction of Breuil--Kisin modules for proper smooth formal schemes over $\mathcal O_K$, where $K$ is a discretely valued extension of $\mathbb Q_p$ with perfect residue field. As another application, we define syntomic sheaves $\mathbb Z_p(n)$ for all $n\geq 0$ on a large class of $\mathbb Z_p$-algebras, and identify them in terms of $p$-adic nearby cycles in mixed characteristic, and in terms of logarithmic de~Rham-Witt sheaves in equal characteristic $p$.

研究动机与目标

• 在混合特征和特征 $p$ 相等的情形下，定义一个类似于代数 K-理论上动机过滤的拓扑霍赫希尔德同调（THH）的过滤。
• 为 $\mathcal{O}_K$ 上的正规光滑形式形式概概形构造布雷乌尔–基辛模的上同调理论，改进 [BMS18] 中的 $A_{\inf}$-上同调理论。
• 在 $\mathbb{Z}_p$-代数上定义 syntomic 层 $\mathbb{Z}_p(n)$（$n \geq 0$），通过混合特征下的 $p$-进邻近周期与特征 $p$ 相等情形下的对数 de Rham–Witt 层来识别它们。
• 通过一个自然且函子性的框架，将 $A_{\inf}$-上同调与 THH、TC 及其他 $p$-进上同调理论联系起来，从而统一并推广 $p$-进霍赫希尔德理论。

提出的方法

• 通过向半完美oid环的平坦下降构造 THH 上的过滤，利用拟同步态站点和余切复形的性质。
• 证明该过滤的分次项同构于混合特征下的 $A\Omega$-复形，以及特征 $p$ 相等情形下的晶体上同调。
• 利用 $\mathrm{THH}$ 上的尼约德过滤，并通过弗罗贝尼乌斯映射将其与 $E$-进过滤联系起来，建立一个过滤映射 $\mathcal{N}^{\geq \star}\widehat{\mathbbl{\Delta}}_{A/\mathfrak{S}^{(-1)}} \to (E)^\star \otimes \widehat{\mathbbl{\Delta}}_{A/\mathfrak{S}}$。
• 证明弗罗贝尼乌斯映射 $\varphi: \varphi^*\widehat{\mathbbl{\Delta}}_{A/\mathfrak{S}} \to \widehat{\mathbbl{\Delta}}_{A/\mathfrak{S}}$ 因子化于 $L\eta_E\widehat{\mathbbl{\Delta}}_{A/\mathfrak{S}}$，从而将尼约德过滤与 $E$-进过滤联系起来。
• 通过基变换至 $\mathcal{O}_C$ 实现理论的全局化，使得通过标量扩张可恢复 de Rham、平展和晶体上同调。
• 关键技术工具包括 $A_{\inf}$-上同调、$p$-进邻近周期函子，以及通过 $\widehat{\mathbbl{\Delta}}$ 的棱锥上同调理论。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在混合特征和特征 $p$ 相等的情形下，为拓扑霍赫希尔德同调定义一种类似动机的过滤？
• RQ2 能否将 $A_{\inf}$-上同调理论改进为取值于布雷乌尔–基辛模的上同调理论，且是否能恢复标准的 $p$-进上同调理论？
• RQ3 syntomic 层 $\mathbb{Z}_p(n)$ 与混合特征下的 $p$-进邻近周期之间有何关系？它们在特征 $p$ 相等的情形下如何与对数 de Rham–Witt 层关联？
• RQ4 THH 上的尼约德过滤是否沿弗罗贝尼乌斯下降？若否，如何通过弗罗贝尼乌斯将它与 $E$-进过滤联系起来？

主要发现

• 通过向半完美oid环的平坦下降构造了 $\mathrm{THH}$ 上的过滤，得到了一个自然且函子性的过滤，其分次项同构于混合特征下的 $A\Omega$-复形。
• 定义了 $\mathfrak{S}$-线性布雷乌尔–基辛模复形的上同调理论 $R\Gamma_{\mathfrak{S}}(\mathfrak{X})$，它恢复了 $A_{\inf}$-上同调，并满足所有标准的 $p$-进霍赫希尔德性质。
• $A_{\inf}$-上同调复形 $R\Gamma_{A_{\inf}}(\mathfrak{X}_{\mathcal{O}_C})$ 被证明是 $A_{\inf}$-模的完美复形，其弗罗贝尼乌斯自同态 $\varphi$ 在局部化 $\xi$ 或 $\tilde{\xi}$ 后成为同构。
• 在标量扩张 $A_{\inf} \to \mathcal{O}_C$ 之后，$A_{\inf}$-上同调恢复了 de Rham 上同调 $R\Gamma_{\mathrm{dR}}(\mathfrak{X}_{\mathcal{O}_C}/\mathcal{O}_C)$，而在局部化 $\mu$ 后，它恢复了 $A_{\inf}[1/\mu]$-系数的平展上同调。
• 该理论将 syntomic 层 $\mathbb{Z}_p(n)$ 识别为混合特征下的 $p$-进邻近周期，以及特征 $p$ 相等情形下的对数 de Rham–Witt 层，从而提供了统一的构造。
• 证明了弗罗贝尼乌斯映射 $\varphi: \varphi^*\widehat{\mathbbl{\Delta}}_{A/\mathfrak{S}} \to \widehat{\mathbbl{\Delta}}_{A/\mathfrak{S}}$ 因子化于 $L\eta_E\widehat{\mathbbl{\Delta}}_{A/\mathfrak{S}}$，建立了过滤同构，从而将尼约德过滤与 $E$-进过滤联系起来。