[論文レビュー] Topological monoids of almost monotone injective co-finite partial selfmaps of positive integers

Ivan Chuchman, Олег Гутік|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2010

semigroups and automata theory参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、正の整数上のほとんど単調で単射かつ余有限な部分自己写像からなる半群 $\omega_{\infty}^\Rsh\!\!\nearrow(\mathbb{N})$ の位相的・代数的構造を調査する。この半群が双単的であること、すべての非自明な群準同型が同型または群準同型であること、および、それが半位相的半群となるようなベール位相が存在するならば、それは必ず離散的であることを示している。さらに、位相的半群における閉包の特徴付けを行い、この構造に非離散的でハウスドルフな半群位相を構成した。

ABSTRACT

In this paper we study the semigroup $I_\infty^\dnearrow(N)$ of partial co-finite almost monotone bijective transformations of the set of positive integers $\mathbb{N}$. We show that the semigroup $I_\infty^\dnearrow(N)$ has algebraic properties similar to the bicyclic semigroup: it is bisimple and all of its non-trivial group homomorphisms are either isomorphisms or group homomorphisms. Also we prove that every Baire topology $τ$ on $I_\infty^\dnearrow(N)$ such that $(I_\infty^\dnearrow(N),τ)$ is a semitopological semigroup is discrete, describe the closure of $(I_\infty^\dnearrow(N),τ)$ in a topological semigroup and construct non-discrete Hausdorff semigroup topologies on $I_\infty^\dnearrow(N)$.

研究の動機と目的

• 正の整数 $\mathbb{N}$ 上のほとんど単調で単射かつ余有限な部分自己写像からなる半群 $\mathscr{I}_{\infty}^{\Rsh\!\!\nearrow}(\mathbb{N})$ の代数的および位相的性質を分析すること。
• $\mathscr{I}_{\infty}^{\Rsh\!\!\nearrow}(\mathbb{N})$ が半位相的半群となるようなベール位相の条件を特定すること。
• 位相的半群内での $\mathscr{I}_{\infty}^{\Rsh\!\!\nearrow}(\mathbb{N})$ の閉包を特徴付けること。
• $\mathscr{I}_{\infty}^{\Rsh\!\!\nearrow}(\mathbb{N})$ に非離散的でハウスドルフな半群位相を構成すること。

提案手法

• 著者らは、$\mathbb{N}$ 上の単射かつ余有限な部分写像で、ある有限集合を除いて単調であるものを $\mathscr{I}_{\infty}^{\Rsh\!\!\nearrow}(\mathbb{N})$ と定義する。
• グリーンの関係式（$\mathscr{R}, \mathscr{L}, \mathscr{D}, \mathscr{H}$）を用いて代数的構造を解析し、この半群が双単的であることを示す。
• 稠密な離散的部分半群および半群演算の連続性に着目した位相的議論を適用し、$\mathscr{I}_{\infty}^{\Rsh\!\!\nearrow}(\mathbb{N})$ に導入されるベール位相が半位相的半群となるならば、その位相は必ず離散的であることを証明する。
• 任意の $c \in \mathscr{I}_{\infty}^{\Rsh\!\!\nearrow}(\mathbb{N})$ に対して、$D_c(A) = \{(x,y) \mid x\cdot y = c\}$ が $S \times S$ において開かつ閉であることを、離散性およびイデアルの性質を用いて示す。
• 擬コンパクト性の議論および逆半群の性質を用いて、$\mathscr{I}_{\infty}^{\Rsh\!\!\nearrow}(\mathbb{N})$ が稠密な離散的部分半群であるならば、$S \times S$ は擬コンパクトでないことを示す。
• 離散位相を $\mathscr{I}_{\infty}^{\Rsh\!\!\nearrow}(\mathbb{N})$ 上に拡張し、より大きな半群構造へと拡大することで、非離散的でハウスドルフな半群位相を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような位相において $\mathscr{I}_{\infty}^{\Rsh\!\!\nearrow}(\mathbb{N})$ が半位相的半群となるか？
• RQ2 ベール位相が $\mathscr{I}_{\infty}^{\Rsh\!\!\nearrow}(\mathbb{N})$ を半位相的半群にするために必要な条件は何か？
• RQ3 より大きな位相的半群内での $\mathscr{I}_{\infty}^{\Rsh\!\!\nearrow}(\mathbb{N})$ の閉包はどのように振る舞うか？
• RQ4 $\mathscr{I}_{\infty}^{\Rsh\!\!\nearrow}(\mathbb{N})$ に非離散的でハウスドルフな半群位相を構成することは可能か？
• RQ5 位相的半群に稠密な離散的部分半群として $\mathscr{I}_{\infty}^{\Rsh\!\!\nearrow}(\mathbb{N})$ を埋め込む際、生じる位相的障害は何か？

主な発見

• $\mathscr{I}_{\infty}^{\Rsh\!\!\nearrow}(\mathbb{N})$ は双単的であり、すべての元が $\mathscr{D}$-同値であることを意味する。
• $\mathscr{I}_{\infty}^{\Rsh\!\!\nearrow}(\mathbb{N})$ から別の群へのすべての非自明な群準同型は、同型または群準同型である。
• 任意のベール位相 $\tau$ が $\mathscr{I}_{\infty}^{\Rsh\!\!\nearrow}(\mathbb{N})$ を半位相的半群にするならば、その位相は必ず離散的である。
• 位相的半群 $S$ 内での $\mathscr{I}_{\infty}^{\Rsh\!\!\nearrow}(\mathbb{N})$ の閉包は、$S$ の閉部分半群である。
• 任意の位相的半群 $S$ において、$\mathscr{I}_{\infty}^{\Rsh\!\!\nearrow}(\mathbb{N})$ が稠密な離散的部分半群であるならば、$S \times S$ は擬コンパクトでない。
• 非離散的でハウスドルフな半群位相が $\mathscr{I}_{\infty}^{\Rsh\!\!\nearrow}(\mathbb{N})$ 上に存在することを示しており、これは半群位相において離散性が必須でないことを示している。