[论文解读] Topological operators, noninvertible symmetries and decomposition

Eric Sharpe|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2021

Advanced Topics in Algebra参考文献 68被引用 12

一句话总结

本文建立了一套框架，将二维量子场论中非可逆一形式对称性与通过拓扑算符和扭场实现的理论分解为不同‘宇宙’联系起来。通过利用平凡作用子群的表示，本文提出了非可逆对称性的普遍表征方法，表明高维表示标志着非可逆对称性和不同的宇宙，而一维表示则指示可逆对称性和相同的副本。主要贡献在于推导出投影算符的通用公式，并对二维环面上的非可逆高阶形式对称性进行了表示论分类。

ABSTRACT

In this paper we discuss the relationship between noninvertible topological operators, one-form symmetries, and decomposition of two-dimensional quantum field theories, focusing on two-dimensional orbifolds with and without discrete torsion. As one component of our analysis, we study the ring of dimension-zero operators in two-dimensional theories exhibiting decomposition. From a commutative algebra perspective, the rings are naturally associated to a finite number of points, one point for each universe in the decomposition. Each universe is canonically associated to a representation, which defines a projector, an idempotent in the ring of dimension-zero operators. We discuss how bulk Wilson lines act as defects bridging universes, and how Wilson lines on boundaries of two-dimensional theories decompose, and compute actions of projectors. We discuss one-form symmetries of the rings, and related properties. We also give general formulas for projection operators, which previously were computed on a case-by-case basis. Finally, we propose a characterization of noninvertible higher-form symmetries in this context in terms of representations. In that characterization, non-isomorphic universes appearing in decomposition are associated with noninvertible one-form symmetries.

研究动机与目标

• 阐明非可逆拓扑算符在具有多个宇宙分解的二维量子场论中的作用。
• 解决仅从零维算符环出发难以区分可逆与非可逆一形式对称性的模糊性。
• 为二维环面中的非可逆高阶形式对称性提供一种普遍的、基于表示论的表征方法。
• 推导出此前仅通过逐案计算的投影算符的通用公式。
• 将体和边界威尔逊线与分解结构联系起来，并阐明其对投影算符的作用。

提出的方法

• 分析具有分解结构的二维理论中的零维算符环，将投影算符识别为与每个宇宙相关的幂等元。
• 利用交换代数证明该环可分解为多个环的乘积，每个环对应一个宇宙，对应于有限概形上的点。
• 应用平凡作用子群的诱导表示，对宇宙进行分类，并区分可逆与非可逆的一形式对称性。
• 计算投影算符对体和边界威尔逊线的作用，表明其作为连接不同宇宙的缺陷。
• 利用群上同调和诱导表示推导出投影算符的一般公式，适用于各类环面例子。
• 通过平凡作用子群的非同构、非一维表示表征非可逆高阶形式对称性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有分解结构的二维QFT中，如何系统地区分非可逆与可逆的一形式对称性？
• RQ2 零维算符环在编码分解为多个宇宙方面起什么作用？
• RQ3 体和边界威尔逊线在不同宇宙相关投影算符作用下如何变换？
• RQ4 具有平凡作用子群的理论中，投影算符的通用公式是什么？
• RQ5 平凡作用子群的表示如何对宇宙进行分类，并决定一形式对称性的性质？

主要发现

• 在分解的二维QFT中，零维算符环同构于多个环的乘积，每个环对应一个宇宙，每个宇宙对应于谱空间中的一个点。
• 每个宇宙均可自然地关联到平凡作用子群的一个表示，相应的投影算符是零维算符环中的幂等元。
• 体威尔逊线作为连接不同宇宙的缺陷，其对态和算符的作用由规范群的表示理论决定。
• 边界威尔逊线分解为变换于平凡作用子群诱导表示的分量，其显式作用通过诱导表示矩阵计算得出。
• 当与某一宇宙相关联的表示为非平凡且维数大于一的表示时，出现非可逆一形式对称性；而一维表示则表明为可逆对称性。
• 通过诱导表示推导出投影算符的通用公式，推广了以往针对特定情况的计算，为识别环面理论中宇宙提供了系统方法。