[論文レビュー] Topology and arithmetic of resultants, I: spaces of rational maps

Benson Farb, Jesse Wolfson|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、有理写像の空間および射影空間内の次数dの有理曲線のモジュライ空間を分析することにより、位相幾何学、数論、代数幾何学の深い関係を確立する。エタールコホロロジー、グローテンディーク環の計算、および超平面配置の組合せ論的位相を用いて、特徴が0の体においてこれらの空間のモチーフと点数が一致すること、およびそれらのℓ-adicコホロロジー群がガロア表現として同型であることを証明する。これはセガール、ヴァシリエフ、コーエン–コーエン–マン–ミルグラムの古典的位相的結果を精緻化するものである。

ABSTRACT

We consider the interplay of point counts, singular cohomology, étale cohomology, eigenvalues of the Frobenius and the Grothendieck ring of varieties for two families of varieties: spaces of rational maps and moduli spaces of marked, degree $d$ rational curves in $\mathbb{P}^n$. We deduce as special cases algebro-geometric and arithmetic refinements of topological computations of Segal, Cohen--Cohen--Mann--Milgram, Vassiliev and others.

研究の動機と目的

• 代数的多様体に関する位相的定理を、3つの視点（特異コホロロジー、エタールコホロロジー、有限体上の点数）を通じて、算術的および幾何的不変量と統一すること。
• セガール、コーエン–コーエン–マン–ミルグラム、ヴァシリエフの古典的位相的計算を、代数的幾何学的および算術的設定にまで拡張して精緻化すること。
• 有理写像の空間と有理曲線のモジュライ空間の、コンパクトなℓ-adicコホロロジーの間に正確な同型を確立し、それらが同型なガロア表現を担うことを示すこと。
• 有限体および特徴が0の体における、次数dの有理曲線の有理写像の空間およびモジュライ空間のモチーフ、ベッチ数、点数、重みフィルトレーションを計算すること。

提案手法

• 特徴が0の体上での多様体のグローテンディーク環を用いて、有理写像の空間のモチーフを計算し、[Poly_d,m^n] = L^{dm} - L^{(d-n)m+1} を示す。
• Björner–Ekedahlの線形部分空間配置の補集合のℓ-adicコホロロジーに関する理論を適用し、エタールコホロロジーとフロベニウス固有値を計算する。
• K"unneth同型とポincare双対性を用いて、配置空間および有理写像のファイバー積のコホロロジーを分解する。
• ℓ-adicコホロロジーと特異コホロロジーの比較定理を用いて、C上の算術的データと位相的不変量を関連付ける。
• 配置空間における対角線の配置の組合せ論的性質が底体に依存しないことを利用し、一様なコホロロジー計算を可能にする。
• Serreスペクトル系列による再帰的ファイブレーションの議論を用いて、C − {0,1} 上の配置空間のベッチ数を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の特徴を持つ体上でのグローテンディーク環における有理写像の空間 Rat_d^* と空間 Poly_d(n+1),1^{n+1} は、同型なモチーフを持つだろうか？
• RQ2 位相的同値性を超えて、有限体上での Rat_d^* と Poly_d(n+1),1^{n+1} のℓ-adicコホロロジーの観察された同型について、代数的解釈は存在するだろうか？
• RQ3 C上での Rat_d^* と Poly_d(n+1),1^{n+1} の位相的ホモトピー同値性は、特徴が0または正の特徴の代数的多様体としての同型に引き上げられるだろうか？
• RQ4 n ≥ 2 のとき、それらが同型ではない場合に、何が Rat_d^* と Poly_d(n+1),1^{n+1} を区別する不変量となるだろうか？
• RQ5 有理曲線のモジュライ空間のエタールコホロロジーにおけるフロベニウスの重みは、その複素点の位相とどのように関係するだろうか？

主な発見

• 特徴が0の体上での多様体のグローテンディーク環における Poly_d,m^n のモチーフは、[Poly_d,m^n] = L^{dm} - L^{(d-n)m+1} である。ここで L はLefschetzモチーフである。
• 任意の素数の累乗 q に対して、Poly_d,m^n の F_q-点の数は |Poly_d,m^n(F_q)| = q^{dm} - q^{(d-n)m+1} である。
• Poly_d,m^n(C) のベッチ数は b_0 = 1 および b_{2nm-3} = 1 であり、それ以外のベッチ数はすべて0である。
• 次元付きベクトル空間の同型が存在する： H^*_c(Poly_d,m^n(C); C) ≅ H^*_et,c(Poly_d,m^n/F_q; Q_ℓ) ⊗_{Q_ℓ} C。
• エタールコホロロジー群はガロア表現を備え、重みは以下の通りである： H^i_et,c(Poly_d,m^n/F_q; Q_ℓ) は、2(d-n)m + 3 の次数で Q_ℓ((n-d)m - 1) であり、2dm の次数で Q_ℓ(-dm) である。
• m ≥ 3 のとき、モジュライ空間 M^*_0,m(P^n,d) は PConf_{m-3}(A^1 - {0,1}) × Rat_d^*(P^1, P^n) に同型であり、そのモチーフはグローテンディーク環において [PConf_{m-3}(A^1 - {0,1})] · [Rat_d^*(P^1, P^n)] に等しい。