[論文レビュー] Topology identification and optimal design of noisy consensus networks

Sepideh Hassan-Moghaddam, Mihailo R. Jovanović|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2015

Neural Networks Stability and Synchronization被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、通信負荷を低減しながらシステムの整合性を最小化するためにエッジを追加することにより、スパースで整合性のあるコンセンサスネットワークを同定および設計するため、$ \ell_1 $-正則化 ${\cal H}_2$ 最適制御フレームワークを提案する。この手法は、半定値計画（SDP）として問題を定式化し、大規模なインスタンス（100万エッジ以上）を数分で効率的に解くために、カスタマイズされたプロキシマル勾配法およびニュートン法を開発する。

ABSTRACT

We study an optimal control problem aimed at achieving a desired tradeoff between the network coherence and communication requirements in the distributed controller. Our objective is to add a certain number of edges to an undirected network, with a known graph Laplacian, in order to optimally enhance closed-loop performance. To promote controller sparsity, we introduce $\ell_1$-regularization into the optimal ${\cal H}_2$ formulation and cast the design problem as a semidefinite program. We derive a Lagrange dual, provide interpretation of dual variables, and exploit structure of the optimality conditions for undirected networks to develop customized proximal gradient and Newton algorithms that are well-suited for large problems. We illustrate that our algorithms can solve the problems with more than million edges in the controller graph in a few minutes, on a PC. We also exploit structure of connected resistive networks to demonstrate how additional edges can be systematically added in order to minimize the ${\cal H}_2$ norm of the closed-loop system.

研究の動機と目的

• 分散コンセンサス制御におけるネットワークの整合性と通信要件の最適なトレードオフを達成すること。
• 最小限のエッジ追加で閉ループ性能を向上させるスパースなネットワークトポロジーを同定および設計すること。
• ${\cal H}_2$ 最適制御フレームワーク内での$ \ell_1 $-正則化を用いて制御器のスパarsityを促進すること。
• 100万エッジを超える大規模なネットワーク設計問題を効率的に解くことが可能なスケーラブルなアルゴリズムの開発。

提案手法

• 制御器グラフのスパarsityを促進するために$ \ell_1 $-正則化を施した半定値計画（SDP）としてネットワーク設計問題を定式化する。
• SDPのラグランジュ双対問題を導出し、効率的な最適化を可能にするとともに、双対変数をネットワーク感度の観点から解釈する。
• 無向ネットワークおよび接続された抵抗ネットワークの構造的性質を活用して、カスタマイズされたプロキシマル勾配法およびニュートン法を設計する。
• 最適性条件とネットワーク構造を活用して、100万エッジを超える問題においても収束を高速化する。
• ${\cal H}_2$ ノルムを閉ループ整合性を測定する性能指標として用い、エッジ追加の指針とする。
• 抵抗ネットワーク構造に基づいた体系的なエッジ追加戦略を統合し、${\cal H}_2$ ノルムの最小化を図る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノイズのあるコンセンサスネットワークの${\cal H}_2$ ノルムを最小化しつつ、制御器のスパarsityを維持するため、エッジの追加をどのように戦略的に選択できるか。
• RQ2 双対変数は、エッジ追加に対するネットワーク整合性の感度をどのように解釈できるか。
• RQ3 プロキシマル勾配法およびニュートン法を、無向ネットワーク構造を活用してどのようにカスタマイズし、収束を高速化できるか。
• RQ4 本手法は、100万エッジを超える大規模ネットワークに対し、どの程度スケーラブルか。
• RQ5 抵抗ネットワークにおける構造的エッジ追加戦略は、閉ループ系の${\cal H}_2$ ノルムを体系的に低減できるか。

主な発見

• 提案された$ \ell_1 $-正則化${\cal H}_2$ 定式化は、スパースで高性能な制御器トポロジーを促進することで、ネットワークの整合性と通信コストのバランスをうまくとれている。
• カスタマイズされたプロキシマル勾配法およびニュートン法は、標準PC上で100万エッジを超える問題に対しても数分で収束を達成する。
• 双対変数は、エッジ追加がシステム整合性に与える限界的影響を解釈可能なインサイトを提供する。
• 抵抗ネットワーク構造に基づいた体系的なエッジ追加戦略は、閉ループ系の${\cal H}_2$ ノルムを効果的に最小化する。
• 本手法はトポロジー同定と最適設計を同時に可能とし、ロバストなコンセンサスネットワーク工学の統合フレームワークを提供する。