[論文レビュー] Toric Prevarieties and Subtorus Actions

Annette A’Campo–Neuen, J. Hausen|ArXiv.org|Dec 30, 1999

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、分離性の条件を緩和することで、トーリック多様体を一般化し、ファイントの系を用いたトーリック前多様体を導入する—完全な組合せ的分類。部分トーラス作用に対するトーリック前商の存在をアルゴリズム的構成により確立し、D. Coxの結果を拡張して、任意のトーリック前多様体が複素アフィン空間の開部分多様体のカテゴリカルな前商の像として得られることを証明する。

ABSTRACT

Dropping separatedness in the definition of a toric variety, one obtains the more general notion of a toric prevariety. Toric prevarieties occur as ambient spaces in algebraic geometry and moreover they appear naturally as intermediate steps in quotient constructions. We first provide a complete description of the category of toric prevarieties in terms of convex-geometrical data, so-called systems of fans. In a second part, we consider actions of subtori H of the big torus of a toric prevariety X and investigate quotients for such actions. Using our language of systems of fans, we characterize existence of good prequotients for the action of H on X. Moreover, we show by means of an algorithmic construction that there always exists a toric prequotient for the action of H on X, that means an H-invariant toric morphism p from X to a toric prevariety Y such that every H-invariant toric morphism from X to a toric prevariety factors through p. Finally, generalizing a result of D. Cox, we prove that every toric prevariety occurs as the image of a categorical prequotient of an open toric subvariety of some complex affine space.

研究の動機と目的

• 分離性の条件を除去することでトーリック多様体の理論を拡張し、トーリック前多様体の概念を導入すること。
• 古典的なファイント対応を一般化するため、ファイントの系を用いたトーリック前多様体の完全な組合せ的記述を提供すること。
• 部分トーラス作用に対するトーリック前多様体の商構成を調査し、前商の存在と普遍性に焦点を当てる。
• 任意の部分トーラス作用に対して、アルゴリズム的手法により普遍的トーリック前商の存在を証明すること。
• D. Coxの結果を一般化し、任意のトーリック前多様体が複素アフィン空間の開トーリック部分多様体のカテゴリカルな前商の像として得られることを示すこと。

提案手法

• 分離されていないトーリック前多様体の貼り合わせデータを符号化する、有理的で多面体的なファイントの系を用いて、トーリック前多様体を組合せ的に表現する。
• トーリック前商を、H-不変なトーリック準同型がすべて普遍的に因数分解されるH-不変なトーリック準同型として定義する。
• 元の前多様体のファイントと部分トーラス作用のデータを組み合わせることで、普遍的トーリック前商をアルゴリズム的に構成する。
• ファイントの系の適合性に基づいて、良い前商が存在する条件を、ファイントの系の言語とその貼り合わせ条件を用いて特徴付ける。
• トーリック準同型と軌道構造の理論を用いて、幾何的商とファイント系内の組合せ的データの関係を関係づける。
• 任意のトーリック前多様体を、アフィン空間の開部分多様体への埋め込みによって、カテゴリカルな前商の像として表現するCoxの構成を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、組合せ的データを用いてトーリック前多様体を完全に分類できるか。この設定では、古典的なファイントに代わるものは何か。
• RQ2 トーリック前多様体上の部分トーラス作用に対して、良い前商が存在する条件は何か。
• RQ3 与えられた部分トーラス作用に対して、常に普遍的トーリック前商を構成できるか。
• RQ4 任意のトーリック前多様体は、複素アフィン空間の開トーリック部分多様体のカテゴリカルな前商の像として実現可能か。
• RQ5 ファイントの系の組合せ的構造は、部分トーラス作用と商の幾何的性質をどのように反映するか。

主な発見

• トーリック前多様体は、古典的なファイントを一般化するファイントの系によって完全に分類される。このファイントの系は、非分離なトーリック多様体の貼り合わせデータを符号化する。
• 部分トーラス作用に対する良い前商が存在するための必要十分条件は、対応するファイントの系が部分トーラス作用と適合する条件を満たすことである。
• アルゴリズム的構成により、任意の部分トーラス作用に対して普遍的トーリック前商が得られ、すべてのH-不変なトーリック準同型が因数分解されることを保証する。
• 任意のトーリック前多様体は、ある複素アフィン空間の開トーリック部分多様体のカテゴリカルな前商の像として得られることを示し、D. Coxの結果を拡張する。
• 普遍的前商の構成は効果的かつ組合せ的であり、ファイントの系と部分トーラスの作用にのみ依存する。
• 理論により、トーリック前多様体上の幾何的部分トーラス作用と、そのファイントの系における組合せ的対応物の間の完全な双対性が確立される。