[論文レビュー] Toric Surfaces and Sasakian-Einstein 5-manifolds

Craig van Coevering|arXiv (Cornell University)|Jul 27, 2006

Geometry and complex manifolds参考文献 44被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、対称的トーリックファノ表面—正の反 canonical バndl を持つトーリック軌道的で、対合に関して不変なもの—を研究することにより、任意の奇数の2番目のベッチ数を持つ滑らかなトーリックサスカリアン・アインシュタイン5次元多様体を構成する。これらの表面のケーラー・アインシュタイン計量は、乗数イデアル・シェーブとモンジュ・アンペール方程式を用いて確立される。関連するセイフェル S¹-バンドルの全空間は、サスカリアン・アインシュタイン5次元多様体をなすが、その滑らかさは、それに対応する3-サスカリアン軌道的多様体が滑らかである場合に保証される。

ABSTRACT

We consider toric surfaces X with an orbifold structure such that the anti-canonical line V-bundle K −1 is positive which admit a certain involution. Such a toric variety X with its orbifold structure is called a symmetric toric Fano surface. It is described by a convex polyhedron with integral vertices in the plane which is invariant under the antipodal map. Using the theory of multiplier ideal sheaves of A. Nadel [54, 55] we show that the appropriate Monge-Ampère equation is solvable, so X admits an orbifold Kähler Einstein metric of positive scalar curvature. By [14] the total space of a Seifert S 1-bundle on X has a Sasakian-Einstein structure. We obtain examples of smooth toric Sasakian-Einstein 5-manifolds with every odd second Betti number. Certain divisors in the twistor space of toric anti-self-dual Einstein orbifolds M of positive scalar curvature (cf. [22]) are toric surfaces of the above type. The associated Sasakian-Einstein space is smooth if the 3-Sasakian orbifold associated to M(cf. [16, 12, 13, 18]) is smooth. Thus associated to every toric 3-Sasakian manifold is a Sasakian-Einstein 5-manifold. Using the quaternionic/3-Sasakian

研究の動機と目的

• 任意の奇数の2番目のベッチ数を持つ滑らかなサスカリアン・アインシュタイン5次元多様体の構成。
• 反 canonical 線束が正で、ある対合に関して不変であるような、軌道的構造を持つトーリック曲面の特徴付け。
• 乗数イデアル・シェーブとモンジュ・アンペール方程式を用いて、対称的トーリックファノ表面にケーラー・アインシュタイン計量の存在を確立すること。
• セイフェル S¹-バンドルを介して、これらの計量とサスカリアン・アインシュタイン構造を結びつけること。
• この構成を、正のスカラー曲率を持つトーリック反自己双対アインシュタイン軌道的多様体のtwistor空間および3-サスカリアン多様体と関連付けること。

提案手法

• 整数頂点を持つ、反対称写像に関して不変な凸多面体を用いて、対称的トーリックファノ表面を分析する。
• A. Nadel の乗数イデアル・シェーブ理論を応用し、軌道的多様体上での適切なモンジュ・アンペール方程式の可解性を証明する。
• 対称的トーリックファノ表面に、正のスカラー曲率の軌道的ケーラー・アインシュタイン計量の存在を確立する。
• [14] の結果を用い、このような表面を底面とするセイフェル S¹-バンドルの全空間がサスカリアン・アインシュタイン構造を有することを示す。
• この構成を、正のスカラー曲率を持つトーリック反自己双対アインシュタイン軌道的多様体のtwistor空間に関連付ける。
• 関連する3-サスカリアン軌道的多様体が滑らかである場合に、得られるサスカリアン・アインシュタイン5次元多様体が滑らかであることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特定の対称性を持つトーリックファノ表面を用いて、任意の奇数の2番目のベッチ数を持つ滑らかなトーリックサスカリアン・アインシュタイン5次元多様体を構成できるか？
• RQ2 対称的トーリックファノ表面が正のスカラー曲率のケーラー・アインシュタイン計量を有するための条件は何か？
• RQ3 乗数イデアル・シェーブとモンジュ・アンペール方程式は、軌道的トーリック曲面上でのケーラー・アインシュタイン計量の存在にどのように寄与するか？
• RQ4 トーリック反自己双対アインシュタイン軌道的多様体のtwistor空間と、得られるサスカリアン・アインシュタイン5次元多様体との関係は何か？
• RQ5 対称的トーリックファノ表面を底面とするセイフェル S¹-バンドルから得られるサスカリアン・アインシュタイン5次元多様体が滑らかであるのはどのような場合か？

主な発見

• 本稿は、すべての奇数の2番目のベッチ数を持つ滑らかなトーリックサスカリアン・アインシュタイン5次元多様体を構成し、これにより新たなクラスの多様体が得られる。
• 対称的トーリックファノ表面—整数頂点を持つ反対称写像に関して不変な凸多面体によって定義されるもの—は、正のスカラー曲率のケーラー・アインシュタイン計量を有する。
• Nadel の理論からの乗数イデアル・シェーブを用いて、これらの軌道的多様体上でのモンジュ・アンペール方程式の可解性が確立される。
• このような表面を底面とするセイフェル S¹-バンドルの全空間は、サスカリアン・アインシュタイン構造を引き継ぐ。
• この構成は、正のスカラー曲率を持つトーリック反自己双対アインシュタイン軌道的多様体のtwistor空間に関連付けられる。
• 関連する3-サスカリアン軌道的多様体が滑らかである場合、得られるサスカリアン・アインシュタイン5次元多様体も滑らかである。